數(shù)學(xué)分析之函數(shù)的連續(xù)性(存儲版)
【正文】 ?函 數(shù) 雖然也是連續(xù)函數(shù) ,但是 界的 . 這說明定義在開區(qū)間和閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性 定理 （介值性定理） ],[)( baxf 在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ,f a f b f b f a??? ? ? ?間 的 任 一 數(shù) 或.)( 0 ??xf.)()( bfaf ?且 ( ) ( )f a f b?若 是 介 于 與 之上連續(xù) , 使得,),(0 bax ?則 (至少 )存在一點 質(zhì)有著根本的區(qū)別 . 從幾何上看 ,當(dāng)連續(xù)曲線 從水平直線 ()y f x? y ??的一側(cè)穿到另一側(cè)時 , 兩者至少有一個交點 . ()y f x??yxo)(af)(bf?a b0x 推論 （ 根的存在性定理） ,],[)( 上連續(xù)在若 baxf0)( 0 ?xf則至少存在一點 ,0)()( ?? bfaf ,0x 使 ,)()( xxfxF ??.0))(())(()()( ?????? bbfaafbFaF則( ) , ( ) .a f a f b b??現(xiàn) 設(shè) 作輔助函數(shù)證 .)(,)( bbfafa ??由條件知.則結(jié)論成立 ( ) ( ) ,a f a b f b??若 或( ) [ , ] ,f x a b因 在 上 連 續(xù)( ) [ , ] .F x a b故 在 上也連續(xù).)( 00 xxf ?),(0 bax ?由介值性定理，存在 0( ) 0Fx ?使 ，即 0 0 0[ , ] , ( ) .x a b f x x??存 在 使例 4 .],[]),([],[ babafbaf ?上連續(xù)，在設(shè) 求證 : 證 不妨設(shè) f (x) 嚴(yán)格增 , 那么 )](,)([ bfaf 就是反 上連續(xù) , 且 與 f (x) 有相同的單調(diào)性 . )(1 xf ?定理 若函數(shù) f (x) 在 ab[ , ] 上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù) , 1 ( ) [ ( ) , ( ) ]y f x f a f b?? 在f b f a[ ( ) , ( ) ]或則反函數(shù) 三、反函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù) 的定義域 . )(1 yfx ??1 ( ) [ ( ) , ( ) ]x f y f a f b?? 在 上 嚴(yán) 格 增1. (證明見定 理 ). 2. 1 ( ) [ ( ) , ( ) ] .x f y f a f b?? 在 上 連 續(xù)(如圖所示 ) .0 bxa ??則),()( 0 bfyaf ?? ,)( 010 yfx ??令,0y對于任意O xya b()fa()fb0x0y① 每一 ② 對應(yīng) 1y2y0x e? 0x e?③ 任給 ⑤ 取 ? ?m i n 2 0 0 1,y y y y? ? ??④ 對應(yīng) ),()()( 21111 yfyfyf ??? ??.)()( 0101 ee ???? ?? yfyyf即時，當(dāng) )()( 2020 yyyyy ?????? e?類似地證明該函數(shù)在端點的連續(xù)性 . ? ?1 ( ) ( ) , ( )x f y f a f b?? 在這就說明了 上連續(xù) . ,)(,)( 0201 ee ???? xfyxfy,0},m i n { 1002 ???? yyyy?令設(shè), 00 bxxa ????? eee對于任意的正數(shù) 且嚴(yán)格增 . 關(guān)于其它的反三角函數(shù) ,c otar c,ar c t an,ar c c os xyxyxy ???均可得到在定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論 . 例 5 ( ) si n 22f x x ?????? ????由 于 在 ， 上 連 續(xù) 且 嚴(yán) 格 增 ， 因此它的反函數(shù) a r c s in [ 1 , 1 ]yx?? 在上也是連續(xù) 嚴(yán)格增 . 例 6 ( ) [ 0 )ny x n? ? ?由 于 為 正 整 數(shù) 在 ， 上連續(xù)且嚴(yán) 在 上亦為連續(xù)且 nxy 1?格增 , 那么其反函數(shù) ),0[ ??12| ( ) ( ) | ,f x f x e??只要 就有 12| | ,xx ??? 四、一致連續(xù)性 任意的正數(shù) 0?e 0?? , 使得對任意 ,存在 1 , 2 ,x x I?定義 2. 設(shè) 為定義在區(qū)間 I上的函數(shù) , 如果對于 ()fx則稱 在區(qū)間 I上一致連續(xù) . ()fx例 7 ( ) [ 1 , ) .f x x? ? ?證明 在 上一致連續(xù)證 有因為對任意的 ,),1[, 21 ???xx|,||||| 12211221 xxxxxxxx ??????0 , ,e ? e??所以對任意的正數(shù) 只要取 當(dāng)12||xx ??? 時 ，1 2 2 1| | | | ,x x x x e? ? ? ?[ 1 ) .x ??所 以 在 ， 上 一 致 連 續(xù)證 首先我們根據(jù)一致連續(xù)的定義來敘述 f (x) 在區(qū) 例 8 1 ( 0 , 1 ) .y x?證明 在 內(nèi)不一致連續(xù)1 2 1 2, , | | ,x x I x x ?? ? ?雖 然但仍有 .|)()(| 021 e?? xfxf1 , ( 0 , 1 )yxx??現(xiàn)在來驗證函數(shù) 確實不是一致 連續(xù)的 . 0 0 , ( )e ? ??存在 對任意正數(shù) 無論 多么小，總有 間 I上 不一致連續(xù) 的定義： ),21(1 ?? ??e ，對任意正數(shù)取1 2 1 2, , | | ,2x x x x???? ? ? ?令 雖.111112??? ?xx但1 ( 0 , 1 ) .yx?這 就 說 明 在 內(nèi) 不 一 致 連 續(xù)1x2x 1 xyO試問 , 函數(shù) 在區(qū)間 I上一致連續(xù)與 在區(qū) ()fx()fx間 I上連續(xù)的 區(qū)別究竟在哪里 ？ 僅與 ? e 有關(guān) . 01 ( 0 , 1 ) ,yxx??比 如 在 連 續(xù) 對于任意正數(shù) e , 所得 [ 1 )yx? ? ?已 證 得 在 ， 上 一 致 連 續(xù) . 這 是 由 于答 :(1) 首先 , 對于 ,0?e 如果 在區(qū)間 I上連續(xù)， ()fx0x 有 關(guān) ,那么 , 不僅與 e 有關(guān) , 而且還與所討論的點 ?).,( 0 e?? x?即 而 在區(qū)間 I上一致 連續(xù) . 那么 ()fx,2,2mi n 020 ??????? xx e? 0xe ,它 與 都 有在前例中 顯然 關(guān) . 0,.xe ? ?? 與 無關(guān)),( 0xe?? ?? 有時當(dāng) ,|| 0 ??? xx.|)()(| 0 e?? xfxf 過程中有一個正下界 (當(dāng)然 00( , )xx?e若 在 的 變 化(2) 函數(shù) f (x) 在每一點 連續(xù) , Ix ?0 ,0??e下述定理是連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的又一整體性質(zhì) . 區(qū)間 I上就一致連續(xù)了 . 這個下界只與 e 有關(guān) , 而與 x0無關(guān) ), 則此時 f (x)在 上連續(xù) , 則 ],[ baf 在],[ ba 上一致連續(xù) . 這個定理 告訴我們 : 定義在閉區(qū)間上的函數(shù) , 連 例 9 設(shè)區(qū)間 1Ι 的右端點為 1Ιc? , 區(qū)間 2Ι 的左端 定理 （一致連續(xù)性定理） 若函數(shù) f 在閉區(qū)間 上一致連續(xù) , )( xf則 在區(qū)間 21 ΙΙ ? 上也一致連續(xù) . ., 2Ιcc ?并且 證明：若 )(xf 分別在 21 , ΙΙ點也為 續(xù)和一致連續(xù)是等價的 . 連續(xù)，所以分別存在 使得 ,0,0 21 ?? ??
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