【正文】 ,ty).y21233。1+313arctan19233。=234。2g1gyyx=2xy(2):f(1,)=x12+(y)2x2+y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2(tx)(ty)arctan=t2(x2+y2xyarctan)tyy2設(shè)F(x,y)=lnxlny，證明：若u0,v0，則 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)證：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式求下列各函數(shù)的定義域，畫出定義的圖形，并說(shuō)明是何種點(diǎn)集。(2)f(x,y)=12x2+3y2解：定義域D={(x,y)|2x2+3y2185。1,y179。圖略。R}不是開(kāi)集，也不是閉集，是有界集。P207。P是CE的聚點(diǎn)。E，則P不是E的聚點(diǎn)222。P是CE的內(nèi)點(diǎn)222。(F1UF2)222。P206。CF1ICF2)222。CF1且Q206。F2Q207。C(F1UF2)=CF1ICF2故C(F1UF2)=(F1IF2)=CF1UCF2由于F1，F(xiàn)2是閉集，由習(xí)題9知，CF1，CF2是開(kāi)集222。CF1ICF2222。U(P，min{d1，d2})204。CF1UCF2222。CF1或者$d39。U{Q，min{d39。(2)若E1，E2是開(kāi)集，則E1UE2與E1IE2都為開(kāi)集。E1UE2，E1IE2(見(jiàn)習(xí)題9)(3)若F是閉集，E為開(kāi)集，則FE為閉集，EF為開(kāi)集證：先證：任何兩個(gè)集A，B：AB=AICB因?yàn)椋簒206。B222。x206。y206。AB，所以AB=AICB由于 F是閉集，E為開(kāi)集222。CF是開(kāi)集，EF是開(kāi)集。F,由此知p為E的內(nèi)點(diǎn)，p為F的外點(diǎn)，于是分別存在d10和d20,使得U(p。F=198。1試把閉域套定理推廣 閉集套定理，：設(shè){Dn}是R2中的閉集列，它滿足(i)Dn201。D,n=1,2,：任取點(diǎn)列Pn206。0(n174。165。Dn,再令p174。165。0)163。0(n174。0，故定理成立.1：設(shè)D204。R2為一有界域222。b,c163。A且d1=d(D1)163。x163。b2,c2163。Dn,n=1,2,3,L，且Dn不能被有限中開(kāi)域所則D2204。覆蓋.(ii)dn204。12n(ba)2+(dc)，存在唯一點(diǎn)P0206。Da222。N+,當(dāng)nN時(shí)，就有n174。Da與假設(shè)矛盾故必存在有限個(gè)區(qū)域D1,D2,LDn，使它們覆蓋D.第二篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)數(shù)學(xué)分析第16章多元函數(shù)的極限與連續(xù)計(jì)劃課時(shí)：0 時(shí)第16章多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時(shí))167。[c,d], {(x,y)|x|+|y|163。q163。E集合的內(nèi)點(diǎn)206。D(x), x206。 E={(x,y)|y=sin }.E的聚點(diǎn)集=E200。 |x1x2|+|y1y2|.r(P1,P3)+r(P2,P3):1． 點(diǎn)列的極限:設(shè)Pn=(xn , yn)204。e0,$N,nNPn206。x0, yn174。165。R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是確定數(shù) 若 e0,$d0,或2P206。(x0,y0)limf(x,y)=A例1 用“ed”定義驗(yàn)證極限(x,y)174。x2y2,(x,y)185。0 ,(x,y)=(0,0).238。P0P206。D, (P)不存在 , 則極限limf(P)174。D推論2設(shè)E1,E2204。P0P206。DP174。P0但Pn185。xy ,(x,y)185。(0,0)239。ⅱ。ⅳ (x,y)174。R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，若 M0,$d0,或P206。P0(x,y)174。(0,0)lim1=+165。若對(duì)每一個(gè)y206。Ex174。Ey記作L=limlimf(y)簡(jiǎn)記L=limlimf(y)y174。Exy174。 |x|+|y|174。(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 174。xy22 , x+y185。239。([1]P124 E4)0 , (x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , : 全增量、(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :定義(單元連續(xù))二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—: 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號(hào)性、:二元初等函數(shù) , : :.(證).(證).(證)Ex[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；P137—1381，第三篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限：x2y111)lim(4x+3y)；2）lim(x+y)sinsin；3）174。0y174。limf(x，y)249。y174。0y174。2y174。由此變量，為因變量，數(shù)集也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。如果連續(xù)。在實(shí)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變動(dòng)，另一個(gè)自變量是看作固定的，所以求 時(shí)只要將暫時(shí)看作常量而對(duì) 求導(dǎo)數(shù)；求 時(shí)，則只要將 暫時(shí)看作常量而對(duì) 求導(dǎo)數(shù)。在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，都是，⒊高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)，那么在 D 內(nèi) 的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。（即二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān)。定理2（充分條件）：如果函數(shù)續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。三、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ㈠復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù) 函數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)，且及都在點(diǎn) 可導(dǎo)。㈡復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) : 設(shè) 則是可微，函數(shù)，對(duì)，并且，的復(fù)合函數(shù)。我們考慮函數(shù)的增量 的比與 和 兩點(diǎn)間的距離值。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)最大值，也就是說(shuō)，梯度的方向是函數(shù)在該點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向，因此，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。㈢、幾何應(yīng)用、空間曲線的切線和法平面： ⑴設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為 在曲線上取相應(yīng)于 的一點(diǎn)，這里假設(shè) 解析幾何中有，假設(shè)三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn) M 處的切線方程為均不為零。⑵通過(guò)點(diǎn) M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點(diǎn) M 處的法平面，它是通過(guò)點(diǎn)而與 T 為法向量的平面，因此方程為。1（0,0）處的兩個(gè)累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。022x2y2；（2）limx2+y2+x+y122x174。01； 22x+ysin(x2+y2)（4）lim。x239。:lim(3x+2y)=14。2,y174。(2,1)，有|3x+2y14|e，即證。0x+yx174。x174。|x|+|y|xy可以證明lim(|x|+|y|)=0所以limf(x,y)=0。0y174。0y174。0x1yx3+y3(3)f(x,y)=2；x+y2x3limf(x,y)=lim=0，x174。0x+x3x223x174。0y174。|ysin|163。x174。0xx（1）lim(x+y)x174。|ln(x2+y2)|，22(x2+y2)2tln(x2+y2)=limlnt=0，又 limx174。0y174。0y174。01+x+y1+x+y1xy174。0；22x+y|163。2x174。0x+yy174。22x174。239。x185。以下分兩種情況討論。1f(x,y)==237。0y174。2|y|e，于是，無(wú)論x=0,x185。（185。0時(shí)limln1(+xy)x174。0時(shí)lim|f(x,y)f(0,)|=0，