【正文】 0時(shí)limln1(+xy)x174。1f(x,y)==237。22x174。01+x+y1+x+y1xy174。0xx（1）lim(x+y)x174。0x+x3x223x174。|x|+|y|xy可以證明lim(|x|+|y|)=0所以limf(x,y)=0。2,y174。022x2y2；（2）limx2+y2+x+y122x174。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)最大值，也就是說，梯度的方向是函數(shù)在該點(diǎn)增長最快的方向，因此，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。定理2（充分條件）：如果函數(shù)續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。如果連續(xù)。0y174。0y174。(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 174。Ex174。R上的二元函數(shù)，P0為D的一個聚點(diǎn)，若 M0,$d0,或P206。xy ,(x,y)185。D推論2設(shè)E1,E2204。x2y2,(x,y)185。x0, yn174。D(x), x206。Da與假設(shè)矛盾故必存在有限個區(qū)域D1,D2,LDn，使它們覆蓋D.第二篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)數(shù)學(xué)分析第16章多元函數(shù)的極限與連續(xù)計(jì)劃課時(shí)：0 時(shí)第16章多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時(shí))167。覆蓋.(ii)dn204。A且d1=d(D1)163。0(n174。165。F=198。y206。(2)若E1，E2是開集，則E1UE2與E1IE2都為開集。U(P，min{d1，d2})204。CF1且Q206。P是CE的內(nèi)點(diǎn)222。R}不是開集，也不是閉集，是有界集。2g1gyyx=2xy(2):f(1,)=x12+(y)2x2+y2xtxx(3)f(tx,ty)=(tx)2+(ty)2(tx)(ty)arctan=t2(x2+y2xyarctan)tyy2設(shè)F(x,y)=lnxlny，證明：若u0,v0，則 F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v)證：右式=lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv=(lnx+lny)lnu+(lnx+lny)lnv=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnxylnuv=左式求下列各函數(shù)的定義域，畫出定義的圖形，并說明是何種點(diǎn)集。 2xyy(2)f(x,y)=2,求f(1,).x+y2xx(3)f(x,y)=x2+y2xyarctan,求f(tx,ty).y21233。165。182。1},dE=E試問集合{(x,y)|0分析：畫出它們表示的圖形即可知結(jié)論，{(x,y)|0解：不相同，因?yàn)辄c(diǎn)集E1={(x,y)|x=a,00,$N206。x163。[c,d]}界點(diǎn)：dE={(x,y)|(a,y),(b,y),c163。0}解：是開集，聚點(diǎn)：E=R2,界點(diǎn)：{(x,y)|xy=0}(3){(x,y)|xy=0}解：是閉集，聚點(diǎn)：E={(x,y)|xy=0}(4){(x,y)|yx2}解：是開集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E={(x,y)|y179。1},界點(diǎn)：dE=E(7){(x,y)|x2+y2163。對e1=1,$P1206。165。n174。249。0},是開集。E且不為E的界點(diǎn)，若$d0，使U(P，d)199。P207。F1UF2222。$d39。AB222。CF是開集，CE是閉集222。Dn+1,n=1,2,L(ii)dn=d(Dn),limdn=0n174。165。R2為一有界閉域，{Da}為一開域族，它覆蓋D(即D204。d1}11=b1a1=(ba),d1c1=(ba)22同理將長方形區(qū)域，劃分成四個長方形子域，而D1被劃分成若個閉子域，其中至少有一個閉子域D2，不能被有限個開域所覆蓋。Dn，N=1,2，3，L根據(jù)閉域定理，存在唯一點(diǎn)P0206。1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，, 特別是 {(r,q)|r163。[ 1 , 1 ].221x 2 4．區(qū)域：（1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE =E時(shí)稱E為開集 , 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集:（4）點(diǎn)集的直徑d(E)： 兩點(diǎn)的距離r(P1 , P2).（5）三角不等式：|x1x2|（或|y1y2|）163。2．R2中的完備性定理：（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則:.（2）.閉域套定理:（3）.聚點(diǎn)原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點(diǎn)原理.（4）有限復(fù)蓋定理:三．二元函數(shù):、記法、圖象：： 例6 求定義域：ⅰ f(x,y)=: 例7 例8 9x2y2x2+y21。f(x,y)=0.(用極坐標(biāo)變換)P94 (x,y)174。E2limf(P)=A2, 但A1185。0 ,(x,y)=(0,0).238。(x0,y0)limf(x,y)=+165。y0x174。0 ,22239。與lim233。4(1+4x2)(1+6y2)12x2+3y2x174。偏導(dǎo)數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意：對于一元函數(shù)來說 可以看作函數(shù)的微分 分 之商，而偏導(dǎo)數(shù)的記與自變量微號是一個整體符號，不能看作分母與分子之商。通常將二元函數(shù)的全微具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。如果有個別為零，則應(yīng)按空間關(guān)直線的對稱式方程來理解。22x174。（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。0當(dāng)x185。0y174。0t174。|x+y|，|(x+y)sin2x+y而lim(x+y)=0x174。(x,y)=237。01xyy=0,y185。0y174。01xy（2）在(0,)處。0時(shí)，f(x, y)是連續(xù)的，只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點(diǎn)上連續(xù)。22x174。（2）limx2+y2+x+y1x174。0limlimysi=0，limlimysi不存在。0x174。xyxy1或lim=0，li=。0x=0在其定義域上是連續(xù)的。2y174。設(shè)軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 , 并設(shè)為 上的另一點(diǎn)，且。定理：如果函數(shù) 的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。㈡二元函數(shù)的極限⒈設(shè)函數(shù) f（x,y）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式，都有 的一切點(diǎn)是球心在原點(diǎn)，半徑為 1 的上半球成立，則稱常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng)或 , 這里 時(shí)的極限，記作。0 ,例2f(x,y)=237。(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| 163。Ey上有定義。(0,0)limxy+11ln(1+x2+y2)。 對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn174。E推論1設(shè)E1204。P0(x,y)174。165。E的邊界表示為182。$N206。b2a2=2(ba),d2c2211=2(dc).如此繼續(xù)，得一閉域套{Dn}，其中bnan=n(ba)221dn=n(dc),n=3,4,L2且滿足(i)Dn+1204。x163。Dn,n=1,2,L，則由r(P0,P39。dn174。E,p207。CB222。CF2222。P206。P206。CE，即P207。(5)f(x,y)=lnx+lny解：定義域D={(x,y)|x0,y0},是開集，也是開域。arctan(x+y)249。即 r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2e推得xnx0163。P一定是聚點(diǎn)()若P是一界點(diǎn)222。2}，dE={(x,y)|x2+y2=1,y=0,1163。2}200。第一篇：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)