【正文】 3，L222。所以limdn=0n174。A1，d2204。d2}222。記上述閉域為D2，(b1a1)2+(d1c1)221記A2={(x,y)|a2163。x163。d}1反證法：若不存在有限個開域覆蓋D，則取直線x=(a+b)及21y=(c+d)將區(qū)域劃分成四個區(qū)域，這四個區(qū)域?qū)劃分若個2區(qū)域，而A中包含A1則：D1204。{(x,y)|a163。UDa)，aaUa則在{Da}中必存在有限開域D1,D2D3LDn，它覆蓋了D(即D204。)r(P39。0,Pn)163。0206。因為Dn是閉集，P0作為Dn的聚點必屬于Dn，即 P0=limPn+p206。N+，對p206。)根據(jù)柯西準(zhǔn)則，$P0206。Dn,Pn+p,Pn從而有 r(Pn+p,Pn)163。165。d)204。E,U(p。EF，則p206。FCE是閉集222。B222。AICB=y206。A，x206。x206。CE1，CE2都為閉集222。2}}204。2)204。10,有U(P，d39。C(F1IF2)222。CF1且$d2(P，d2)204。C(F1UF2)222。Q206。Q207。CF1ICF2222。CF2222。F1且P207。C(F1UF2)222。U(P，d)206。對P206。E=f222。分析：由開、閉集的定義。x2+y2163。圖略。(3)f(x,y)=xy解：定義域D={(x,y)|xy0},是閉集。177。235。16122arctan3235。2解:(1)f(,)=234。2arctan(1+3+13)234。arctan(xy)22235。求下列各函數(shù)的函數(shù)值1+313233。165。對e0,$N206。yny0163。165。證：“必要性”，若limPn=P0222。E，所以E不是閉域證明：點列{Pn(xn,yn)}收斂于P0(x0,y0)的充要條件是limxn=x0和limyn=y0n174。x163。P是一內(nèi)點222。U0(P0,e)=min{,r(P0,P1)}，則$P2206。165。x{(0,y)|1163。x163。1或y=0,1163。x163。2}200。y163。x2}，界點集：{(x,y)|y=x2}(5){(x,y)|x2,y2,x+y2}解：是開集，有界集，區(qū)域，聚點：E={(x,y)|x163。d或(x,c),(x,d),a163。[c,d)解：是有界集，區(qū)域，聚點：E={(x,y)|(x,y)206。第一篇：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)167。[a,b]180。x163。2,y163。2}200。{(x,y)|x+y=2,0163。1}解：是閉集，有界點集，聚點：E={(x,y)|x2+y2=1y=0,0163。x163。2}，dE={(x,y)|x2+y2=1,y=0,1163。y163。當(dāng)nN時，有Pn206。U0(P0,e)(P2,P0)證明：閉域必為閉集，舉例說明反之不真。P一定是聚點()若P是一界點222。3}這里E的一切點都是聚點，且是E的全部聚點，所以E是閉集，然而E中的開域是E1={(x,y)|x2+y21}及dE1={(x,y)|x2+y2=1}且E1200。165。e0,$N206。即 r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2e推得xnx0163。r(Pn,P0)e，即limyn=y0n174。N+n174。當(dāng)nN時，就有xnx0ee,yny0221212e+e=e，22這時r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2即Pn206。arctan(x+y)249。=234。2x},是開集，但不是開域，圖略。(4)f(x,y)=1x2+y21解：定義域D={(x,y)|x163。(5)f(x,y)=lnx+lny解：定義域D={(x,y)|x0,y0},是開集，也是開域。(2k+1)p,k=0,1,2,L} 是閉集，但不是區(qū)域.(7)f(x,y)=ln(yx)解：定義域D={(x,y)|yx}，是開集，也是開域.(8)f(x,y)=e(x2+y2)2解：定義域D=R,是開集，又是閉集，是閉域又是開域.(9)f(x,y,z)=zx2+y2+1解：定義域D=R2，是開集也是閉集，是開域又是閉域.（10）f(x,y,z)=R2x2y2z2+1x+y+zr2222(Rr)22222解：定義域{(x,y,z)rx+y+z163。證：(1)若E是開集222。點P有U(P，d)，從而也是CE的聚點；若P是E的界點，那么P同時也是CE的界點222。CE，即P207。CE222。P207。F2222。P206。Q206。F1且Q207。C(F1UF2)222。P206。CF2222。Q206。1)204。CF2222。CF1UCF2=C(F1IF2)C(F1IF2)是開集，F(xiàn)1IF2是閉集。CE1UCE2=C(E1IE2)CE1ICE2=C(E1UE2)都是閉集(見(1))222。A，x207。CB222。A222。y206。FE為閉集，而E199。E,p207。d2)199。EF,即p是EF的內(nèi)點，所以EF為開集。則存在唯一點P0206。dn174。R2,使limPn=P0n174。N+，有Pn+p206。Dn,n=1,2,L,p174。Dn,n=1,2,L，則由r(P0,P39。2d174。0,Pn)=0,即P0=P39。Da)，)證：因為D204。x163。D，A1204。b1,c1163。x163。b2a2=2(ba),d2c2211=2(dc).如此繼續(xù)，得一閉域套{Dn}，其中bnan=n(ba)221dn=n(dc),n=3,4,L2且滿足(i)Dn+1204。d(D2)163。165。存在某個區(qū)域Da，使P0206。$N206。U(P0)204。ax+b}等.⑵ 矩形域: [a,b]180。2asinq}.⑷ 角域: {(r,q)|a163。E的邊界表示為182。y163。E但不是聚點。R2和空集f為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點集均為區(qū)域.(x1x2)2+(y1y2)2163。165。xn174。).例5 { Pn }, 使limPn=174。 2 二元函數(shù)的極限二重極限亦稱為全面極限定義1 設(shè)f為定義在D204。P0(x,y)174。0例3 236。x2+y2239。對D的每一個子集E , 只要點P0是E的聚點 , P174。E推論1設(shè)E1204。P0P206。E1P174。P0P206。 對D內(nèi)任一點列{ Pn }, Pn174。/ 全面極限存在例4 236。x2+y2(x,y)174。(0,0)limsinxyx2ylim。(0,0)limxy+11ln(1+x2+y2)。的定義:2定義2．設(shè)f為定義在D204。P174。 驗證(x,y)174。Ey上有定義。x0x206。y0y206。Eyx206。(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| 163。/⑵的例.(x,y)174。 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時)一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：:定義(x,y) 236。x+yf(x,y)=237。 ,例2f(x,y)=237。0x+yxyy174。0)，求 lim233。0234。00x+(x，y)=4，證明：當(dāng)點(x，y)沿通過原點的任意直線(y=mx)趨于（0,0）時，函數(shù)f(x，y)23(x+y)存在極限，=(x，y)y(x，y)=2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點（0，0）+y{}： 1）lim3）lim(x+y)In(x+y)；4）limx174。0xy174。0.第四篇：一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) ．二元函數(shù)的