【正文】 形式的不變性 : 設(shè)函數(shù) 則有全微分 果、又是，如 的函數(shù)、具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合 函數(shù) 的全微分為由此可見，無論 是自變量、的函數(shù)或中間變量、的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性?！鲜鏊v的梯度的概念也可推廣到三元函數(shù)的情況。⑶若空間曲線 的方程以 為： 的形式給出 , 則切線方程，其中分母中帶下標(biāo) 0 的行列式表示行列式在點(diǎn) 的值；曲線在點(diǎn)處的法平面方程為 的值；曲線在點(diǎn) 處的法平面方程為、曲面的切平面和法線 ⑴若曲面方程為 M 處的切平面的方程為：；，是曲面上一點(diǎn)，則曲面在點(diǎn)法線方程為： ⑵若曲面方程為，則切平面方程為或 ；而法線方程為第五篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題:lim(3x+2y)=14。0y174。y238。1，不妨設(shè)|x2|0,|y1|0，有|x+2|=|x2+4|163。0y174。x174。0xylim(x+y)sisi不存在。0y174。|y|x∴l(xiāng)imf(x,y)=0，x174。0y174。02x2y2=elimx2y2ln(x2+y2)(x,y)174。0y174。0x+yy174。0r174。0x=0在其定義域上是連續(xù)的。xyx239。0，當(dāng)|x|d,|y|d時(shí)，都有l(wèi)imf(x,y)=0=f(0,0)x174。0y174。|y||ln(1+xy)xy當(dāng)x=0時(shí),|f(x,y)f(0,)|=|y|,1xy注意到，當(dāng)185。|y||ln(1+xy)|163。239。y238。0，sin(x2+y2)sinr2lim=lim2=1。0故lim(x+y)si2=0。0174。0∴l(xiāng)im(x+y)x174。0x174。0(4)f(x,y)=ysinx0163。0x174。0時(shí)，f(x,y)=(x+y)sinsin極限不存在，kpxy因此limlim(x+y)sisi不存在，x174。|(x+y)sinsin|163。0x174。1因?yàn)閤174。0ln(1+xy)(x,y)=237。0y174。向量就是曲線 在點(diǎn) M 處的一個(gè)切向量。上述定義也可推廣到三元函數(shù) 著方向（設(shè)方向 的方向角為，其中，它在空間一點(diǎn)沿）的方向?qū)?shù)可以定義為，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 的方向?qū)?shù)為㈡、梯度、定義(二元函數(shù)的情形)：設(shè)函數(shù) 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)量，這個(gè)向量稱為函數(shù)，即，在點(diǎn)在平面區(qū)域 D，都可定出一個(gè)向的梯度，記作，由梯度的定義可知，梯度的模為： 當(dāng) 不為零時(shí)，x 軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 與方向?qū)?shù)的關(guān)系：如果設(shè)是與方向 同方向的單位向量，則由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式可知：由此可知，就是梯度在 上的投影，當(dāng)方向 與梯度的方向一致時(shí)，有，從而 有最大值。上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。定理 1（必要條件）：如果函數(shù) 函數(shù)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 的全微分為 在點(diǎn)可微分，則該必定存在，且函數(shù)。同樣，偏導(dǎo)數(shù) 截得的曲線在點(diǎn) 的切線處，就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 的幾何意義是曲面被平面 所對(duì) 軸的斜率。㈢多元函數(shù)的連續(xù)性 ．定義：設(shè)函數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且。0.第四篇：一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) ．二元函數(shù)的定義：設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn) P（x，y）∈ D，變量 按照一定法則總有確定的值與它對(duì)應(yīng)，則稱 是變量 x、y 的二元函數(shù)（或點(diǎn) P 的函數(shù)），記為（或），點(diǎn)集 D 為該函數(shù)的定義域，x、y 為自為該函數(shù)值域。0x+(x，y)=4，證明：當(dāng)點(diǎn)(x，y)沿通過原點(diǎn)的任意直線(y=mx)趨于（0,0）時(shí)，函數(shù)f(x，y)23(x+y)存在極限，=(x，y)y(x，y)=2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點(diǎn)（0，0）+y{}： 1）lim3）lim(x+y)In(x+y)；4）limx174。0234。0x+yxyy174。x+yf(x,y)=237。/⑵的例.(x,y)174。Eyx206。x0x206。 驗(yàn)證(x,y)174。的定義:2定義2．設(shè)f為定義在D204。(0,0)limsinxyx2ylim。/ 全面極限存在例4 236。P0P206。P0P206。對(duì)D的每一個(gè)子集E , 只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn) , P174。0例3 236。 2 二元函數(shù)的極限二重極限亦稱為全面極限定義1 設(shè)f為定義在D204。xn174。R2和空集f為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.(x1x2)2+(y1y2)2163。y163。2asinq}.⑷ 角域: {(r,q)|a163。U(P0)204。存在某個(gè)區(qū)域Da，使P0206。d(D2)163。x163。D，A1204。Da)，)證：因?yàn)镈204。2d174。Dn,n=1,2,L,p174。R2,使limPn=P0n174。則存在唯一點(diǎn)P0206。d2)199。FE為閉集，而E199。A222。A，x207。CF1UCF2=C(F1IF2)C(F1IF2)是開集，F(xiàn)1IF2是閉集。1)204。CF2222。C(F1UF2)222。Q206。F2222。CE222。點(diǎn)P有U(P，d)，從而也是CE的聚點(diǎn)；若P是E的界點(diǎn)，那么P同時(shí)也是CE的界點(diǎn)222。(2k+1)p,k=0,1,2,L} 是閉集，但不是區(qū)域.(7)f(x,y)=ln(yx)解：定義域D={(x,y)|yx}，是開集，也是開域.(8)f(x,y)=e(x2+y2)2解：定義域D=R,是開集，又是閉集，是閉域又是開域.(9)f(x,y,z)=zx2+y2+1解：定義域D=R2，是開集也是閉集，是開域又是閉域.（10）f(x,y,z)=R2x2y2z2+1x+y+zr2222(Rr)22222解：定義域{(x,y,z)rx+y+z163。(4)f(x,y)=1x2+y21解：定義域D={(x,y)|x163。2=234。當(dāng)nN時(shí)，就有xnx0ee,yny0221212e+e=e，22這時(shí)r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2即Pn206。r(Pn,P0)e，即limyn=y0n174。e0,$N206。3}這里E的一切點(diǎn)都是聚點(diǎn)，且是E的全部聚點(diǎn)，所以E是閉集，然而E中的開域是E1={(x,y)|x2+y21}及dE1={(x,y)|x2+y2=1}且E1200。U0(P0,e)(P2,P0)證明：閉域必為閉集，舉例說明反之不真。y163。x163。{(x,y)|x+y=2,0163。2,y163。[a,b]180。[c,d)解：是有界集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E={(x,y)|(x,y)206。x2}，界點(diǎn)集：{(x,y)|y=x2}(5){(x,y)|x2,y2,x+y2}解：是開集，有界集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E={(x,y)|x163。2}200。1或y=0,1163。x{(0,y)|1163。U0(P0,e)=min{,r(P0,P1)}，則$P2206。x163。證：“必要性”，若limPn=P0222。yny0163。165。arctan(xy)22235。2解:(1)f(,)=234。235。(3)f(x,y)=xy解：定義域D={(x,y)|xy0},是閉集。x2+y2163。E=f222。U(P，d)206。F1且P207。CF1ICF2222。Q206。CF1且$d2(P，d2)204。10,有U(P，d39。2}}204。x206。AICB=y206。FCE是閉集222。E,U(p。165。)根據(jù)柯西準(zhǔn)則，$