【正文】 限limf(x,y)(x,y)=237。D推論3極限limf(P)存在, 219。P0P206。P0P206。xyf(x,y)=237。D,f(P)Ae則limf(P)=AP174。165。limn174。孤立點(diǎn)：A206。E集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE,.外點(diǎn)：存在U(A)使U(A)IE=f界點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)既有E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)。0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa}，{(x,y)|y179。Da但因?yàn)閘imdn=0222。所以limdn=0n174。d2}222。x163。{(x,y)|a163。)r(P39。0206。N+，對(duì)p206。Dn,Pn+p,Pn從而有 r(Pn+p,Pn)163。d)204。EF，則p206。B222。A，x206。CE1，CE2都為閉集222。2)204。C(F1IF2)222。C(F1UF2)222。Q207。CF2222。C(F1UF2)222。對(duì)P206。分析：由開(kāi)、閉集的定義。圖略。177。16122arctan3235。2arctan(1+3+13)234。求下列各函數(shù)的函數(shù)值1+313233。對(duì)e0,$N206。165。E，所以E不是閉域證明：點(diǎn)列{Pn(xn,yn)}收斂于P0(x0,y0)的充要條件是limxn=x0和limyn=y0n174。P是一內(nèi)點(diǎn)222。165。x163。x163。y163。d或(x,c),(x,d),a163。第一篇：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)167。x163。2}200。1}解：是閉集，有界點(diǎn)集，聚點(diǎn)：E={(x,y)|x2+y2=1y=0,0163。2}，dE={(x,y)|x2+y2=1,y=0,1163。當(dāng)nN時(shí)，有Pn206。P一定是聚點(diǎn)()若P是一界點(diǎn)222。165。即 r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2e推得xnx0163。N+n174。arctan(x+y)249。x},是開(kāi)集，但不是開(kāi)域，圖略。(5)f(x,y)=lnx+lny解：定義域D={(x,y)|x0,y0},是開(kāi)集，也是開(kāi)域。證：(1)若E是開(kāi)集222。CE，即P207。P207。P206。F1且Q207。P206。Q206。CF2222。CE1UCE2=C(E1IE2)CE1ICE2=C(E1UE2)都是閉集(見(jiàn)(1))222。CB222。y206。E,p207。EF,即p是EF的內(nèi)點(diǎn)，所以EF為開(kāi)集。dn174。N+，有Pn+p206。Dn,n=1,2,L，則由r(P0,P39。0,Pn)=0,即P0=P39。x163。b1,c1163。b2a2=2(ba),d2c2211=2(dc).如此繼續(xù)，得一閉域套{Dn}，其中bnan=n(ba)221dn=n(dc),n=3,4,L2且滿(mǎn)足(i)Dn+1204。165。$N206。ax+b}等.⑵ 矩形域: [a,b]180。E的邊界表示為182。E但不是聚點(diǎn)。165。).例5 { Pn }, 使limPn=174。P0(x,y)174。x2+y2239。E推論1設(shè)E1204。E1P174。 對(duì)D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn174。x2+y2(x,y)174。(0,0)limxy+11ln(1+x2+y2)。P174。Ey上有定義。y0y206。(0,0).可見(jiàn)全面極限存在 , 但兩個(gè)累次極限均不存在.|f(x,y)| 163。 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時(shí))一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對(duì)連續(xù)）概念：:定義(x,y) 236。 ,例2f(x,y)=237。0)，求 lim233。00xy174。㈡二元函數(shù)的極限⒈設(shè)函數(shù) f（x,y）在開(kāi)區(qū)域（或閉區(qū)域）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式，都有 的一切點(diǎn)是球心在原點(diǎn)，半徑為 1 的上半球成立，則稱(chēng)常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng)或 , 這里 時(shí)的極限，記作。二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分 ㈠偏導(dǎo)數(shù)⒈偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量存在，則稱(chēng)此極限為處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)，記作，當(dāng) 固定 在而 在處有增量，如果函數(shù)或 類(lèi)似，函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作際中求，或。定理：如果函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。設(shè)軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 , 并設(shè)為 上的另一點(diǎn)，且。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，則⑴式成為 n 階麥克勞林㈡、多元函數(shù)的極值 定理 1（必要條件）：設(shè)函數(shù) 數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)（,）具有偏導(dǎo)(,)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：定理 2（充分條件）: 設(shè)函數(shù) 內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又)=A,(,)=B,(,)=C, 則 f(x,y)在（,）處是否取得極值的條件如下：，令(,，在點(diǎn)（,）的某鄰域⑴ AC0 時(shí)具有極值，且當(dāng) A0 時(shí)有極小值；⑵ AC⑶ AC=0 時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。2y174。0y174。0x=0在其定義域上是連續(xù)的。3|x2||x+2|+2|y1|15|x2|+2|y1|15[|x2|+|y1|]e0，要使不等式|3x+2y14|15[|x2|+|y1|]e成立 取d=min{e30,1}，于是e0，$d=min{e30,1}0，(x,y)：|x2|d,|y1|d且(x,y)185。xyxy1或lim=0，li=。0x174。0x174。x174。0limlimysi=0，limlimysi不存在。|xyln(x+y)|163。（2）limx2+y2+x+y1x174。0y174。22x174。0ln(1+xy)236。0時(shí)，f(x, y)是連續(xù)的，只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點(diǎn)上連續(xù)。yln(1+xy)由于limln1(+xy)x174。01xy（2）在(0,)處。0，當(dāng)185。0y174。0)xy當(dāng)x185。01xyy=0,y185。（1）在原點(diǎn)（0,0）處f(0, 0)=0,當(dāng)x185。(x,y)=237。0令x=rcosq，y=rsinq，(x,y)174。|x+y|，|(x+y)sin2x+y而lim(x+y)=0x174。0；(x2+y2)(+x2+y2+1)=lim=2。0t174。0y174。0y174。0x174。0當(dāng)x185。0x+yx174。（0,0）處的兩個(gè)累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。x174。22x174。（1）f(x,y)=xy； x+y(2)f(x,y)=(x+y)sisi； 1x1yx3+y3(3)f(x,y)=2； x+y1(4)f(x,y)=ysi。如果有個(gè)別為零，則應(yīng)按空間關(guān)直線的對(duì)稱(chēng)式方程來(lái)理解。當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱(chēng)這極限為函數(shù) 在點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)，記作，即。通常將二元函數(shù)的全微具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。）㈡全微分⒈全微分定義：如果函數(shù)可表示為賴(lài)于、而僅與、有關(guān)，在點(diǎn)可微分，而稱(chēng)在點(diǎn) 的全增量，其中 A、B 不依，則稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)在點(diǎn) 的全微分，記作，即。偏導(dǎo)數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意：對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō) 可以看作函數(shù)的微分 分 之商，而偏導(dǎo)數(shù)的記與自變量微號(hào)是一個(gè)整體符號(hào)，不能看作分母與分子之商。⒉注意：二重極限存在是指 都無(wú)限接近A。4(1+4x2)(1+6y2)12x2+3y2x174。0235。與lim233