二元函數(shù)的極限與連續(xù)-資料下載頁
2025-01-20 02:02本頁面
【正文】 0P定理 3. 若函數(shù) 在點(diǎn) 連 續(xù)，并且二元函數(shù) f(u,v)在點(diǎn) 連續(xù)，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù) . ) , ( 0 0 0 y x P [ ] ) , ( ), , ( y x y x f y ? ),(),( yxvyxu y? ?? ),( 000 yxP[ ] ) , ( ), , ( ) , ( 0 0 0 0 0 0 y x y x v u y ? ? ★ 注： 一元函數(shù) 可看作是特殊的二元函數(shù) . )(),( yx y?).,()( yxFx ??Ry ??)(x?例如， 可看作是 ，有 ),( 0 Ry ??),( 00 yx),( yxF0x)(x?從而，一元函數(shù) 在 連續(xù)，也就是二元函數(shù) 在 連續(xù) 即 ).,()()(lim),(lim 000000yxFxxyxFxxyyxx????????因此， 凡是連續(xù)的一元函數(shù)也是連續(xù)的二元函數(shù) . )s i n (3s i n),(223yxexxyxf y????例如，二元函數(shù) ),( yx0)s in ( 22 ?? yx在使分母 的點(diǎn) 都連續(xù) . 例７ .11l i m00 xyxyyx????求解 )11( 11l i m00 ??????? xyxyxyyx原式111lim00 ???yx.21?).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP???處連續(xù)，于是點(diǎn)在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是數(shù)，且是初等函時(shí)，如果一般地，求 定理 5.（有界性） 若函數(shù) f(P)在有界閉區(qū)域 連續(xù)，則函 數(shù) f(P)在 D有界，即 有 2RD ?,0 DPM ???? .)( MPf ?定理 6.（最值性） 若函數(shù) f(P)在有界閉區(qū)域 D連續(xù)，則函數(shù) f(P)在 取得最小值 m與最大值 M，即 使 且 有 2RD ? ,21 DPDP ???,)(,)( 21 MPfmPf ?? ,DP ??.)( MPfm ??定理 7.（介值性） 若二元函數(shù) f(x,y)在有界閉區(qū)域 連續(xù)， 且 m與 M分別是函數(shù) f(x,y)在 D的最小值與最大值， 是 m與 M之間的 任意數(shù) ，則 有 2RD ??)( Mm ?? ? ,),( 000 DyxP ??.),( 00 ??yxf定義 設(shè) f(P)在區(qū)域 有定義 .若 有 則稱函數(shù) f(P)在 D一致連續(xù) . 2RD ?,:,0,0 2121 ??? ???????? PPDPP,)()( 21 ??? PfPf定理 8.（一致連續(xù)性） 若函數(shù) f(P)在有界閉區(qū)域 連 續(xù)，則函數(shù) f(P)在 D一致連續(xù) . 2RD ?
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