61二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分-資料下載頁(yè)
2025-07-25 16:45本頁(yè)面
【正文】 0lim 0 ,z? ?? ?00l im ( , )xy f x x y y?? ???? ??0l im [ ( , ) ]f x y z? ????( , )f x y?所以函數(shù) ( , )z f x y? 在點(diǎn) ( , )xy 處連續(xù) . “可微”與“連續(xù)”的關(guān)系？ 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 “可微”與“偏導(dǎo)數(shù)存在”的關(guān)系？ 定理 3 （可微的必要條件） 如果函數(shù)( , )z f x y?在點(diǎn)( , )xy可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)( , )xy的偏導(dǎo)數(shù)zx??、zy??必存在，且函數(shù) ( , )z f x y? 在點(diǎn) ( , )xy 的全微分為 zzd z x yxy????????． 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 反例 : 函數(shù) ( , )f x y ?易知 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 0 ,xyff ?? 但 [ ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ]xyz f x f y? ? ???( ),o ??注 : 定理 3 的逆定理不成立 . 22( ) ( )xyxy????? ?22( ) ( )xyxy??????0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 ! 2222,0xy xyxy???220 , 0xy??因此 ,函數(shù)在點(diǎn) 不可微 . (0,0)上頁(yè) 下頁(yè) 返回 定理 4 (可微的充分條件 ) 若函數(shù) ,zzxy????的偏導(dǎo)數(shù) ( , )xy 則函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)， 在該點(diǎn)可微 . 且 zzd z d x d yxy??????全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) .u u ud u d x d y d zx y z? ? ?? ? ?? ? ?. 例如 , 三元函數(shù) ( , , )u f x y z? 的全微分為： 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 例 6 計(jì)算函數(shù) 在點(diǎn) (2,1)處的全微分 . 解 zx? ??22,2( 2 , 1 ) ( 2 , 1 )zz eexy?? ??例 7 計(jì)算函數(shù) 的全微分 . 解 du? 1( c o s )22 y dy?zy? ??,xyye xyxeyzze上頁(yè) 下頁(yè) 返回 偏導(dǎo)數(shù)的定義 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 高階偏導(dǎo)數(shù) （偏增量比的極限） ??? 純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) （相等的條件） 內(nèi)容小結(jié) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 課后作業(yè) 練習(xí)冊(cè)
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