二元函數(shù)極限ppt課件-資料下載頁
2025-01-19 19:59本頁面
【正文】 是否存在 ? (2) 0 0 0 011lim lim ( , ) lim lim ( s in s in )x y x yf x y x yyx? ? ? ???是否存在 ? (3) 0 0 0 011( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim ( , ) lim ( s in s in )x y x yf x y x yyx?? ??是否存在 ? 解 (1) 不存在 . (2) 不存在 . (3) 0 0 0 011 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim ( , ) lim ( s in s in ) .x y x yf x y x yyx?? ? ? ?3. 當(dāng)二重極限與累次極限都存在時 定理 若 ( , )f x y 在點 00( , )xy 二重極限與累次極限 00( , ) ( , )lim ( , ) ,x y x y f x y?00lim lim ( , )x x y y f x y??都存在 , 則 00( , ) ( , )lim ( , )x y x y f x y?00lim lim ( , )x x y y f x y???若二重極限和累次極限都存在 , 則它們必相等 . 證 : 設(shè) 00( , ) ( , )lim ( , ) ,x y x y f x y A? ?則 0,??? 0,??? 0( , ) ( 。 ) ,P x y P ??? 0U 有 | ( , ) |f x y A ??? (2) 由題設(shè) , 可假設(shè)對任一滿足不等式 00 | |xx ?? ? ?(3) 的 x, 有 0l im ( , ) ( )yy f x y x?? ?(4) 對 (2)式 , 令 0 ,yy?得 | ( ) |xA???? 結(jié)合 (3)式 , 得 0lim ( ) ,xx xA?? ?即 00( , ) ( , )lim ( , )x y x y f x y?00lim lim ( , )x x y y f x y???=A 推論 1 若 ( , )f x y 在點 00( , )xy 二重極限與累次極限 00( , ) ( , )lim ( , ) ,x y x y f x y?00lim lim ( , ) ,x x y y f x y??都存在 , 則三者相等 . 00lim lim ( , ) ,y y x x f x y??推論 2 若累次極限 00lim lim ( , ) ,x x y y f x y??00lim lim ( , )y y x x f x y??存在但不相等 , 則二重極限 00( , ) ( , )lim ( , )x y x y f x y?不存在 . (常用來證明極限不存在 ) 例 9 討論下列函數(shù)在點 (0,0)的二重極限與累次極限 . 2s in ( )( 1 ) ( , ) 。xyf x y xy ?? ?0 , 0( 2 ) ( , ) 。1 , 0xf x yx??? ???當(dāng)時當(dāng)時2222, ( 3 ) ( , ) 。( ) , x y xf x yx y x? ???? ????當(dāng) 為有理數(shù)時當(dāng) 為無理數(shù)時2222, , )( 4 ) ( , ) 。( ) , , )x y x yf x yx y x y? ???? ????當(dāng)( 為有理點時當(dāng)( 為無理點時解 : (1) 20 0 0 0s in ( )l im l im ( , ) l im l imy x y xxyf x yxy? ? ? ????0sinlim 1 ,yyy???20 0 0 0s in ( )l im l im ( , ) l im l imx y x yxyf x yxy? ? ? ????20sinlimxx??220s inl im 1 0 0xx xx?? ? ? ? ?0 0 0 0l im l im ( , ) l im l im ( , )y x x yf x y f x y? ? ? ??所以 ( , ) ( 0 ,0 )lim ( , )xy f x y?不存在 . (2) 00l im l im ( , )yx f x y??1,?00l im l im ( , )xy f x y??1,?但 (x,y)沿 x=0趨于 (0,0)時 , f(x,y)的極限為 0, 故 f(x,y)在 (0,0)的二重極限不存在 . 例 9 討論下列函數(shù)在點 (0,0)的二重極限與累次極限 . 2s in ( )( 1 ) ( , ) 。xyf x y xy ?? ?0 , 0( 2 ) ( , ) 。1 , 0xf x yx??? ???當(dāng)時當(dāng)時2222, ( 3 ) ( , ) 。( ) , x y xf x yx y x? ???? ????當(dāng) 為有理數(shù)時當(dāng) 為無理數(shù)時2222, , )( 4 ) ( , ) 。( ) , , )x y x yf x yx y x y? ???? ????當(dāng)( 為有理點時當(dāng)( 為無理點時2222, ( 3 ) ( , ) 。( ) , x y xf x yx y x? ???? ????當(dāng) 為有理數(shù)時當(dāng) 為無理數(shù)時2222, , )( 4 ) ( , ) 。( ) , , )x y x yf x yx y x y? ???? ????當(dāng)( 為有理點時當(dāng)( 為無理點時解 : (3) ( , ) ( 0 ,0 )lim ( , )xy f x y?=0, 00lim lim ( , )xy f x y??=0。 但 0lim ( , )x f x y?不存在 所以 00lim lim ( , )yx f x y??不存在 . (4) ( , ) ( 0 ,0 )lim ( , )xy f x y?=0, 但 00lim lim ( , )xy f x y??與 00lim lim ( , )yx f x y??都不存在 .
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