二元函數極限ppt課件-文庫吧資料
2025-01-25 19:59本頁面
【正文】 ?2( , ) ( 0 ,0 )1( 2) l i m 1xxyxy x?????????解 : (1) 因為 3322( , ) ( 0 ,0 )s in ( )l imxyxyxy???3 3 3 33 3 2 2( , ) ( 0 , 0 )s in ( )l imxyx y x yx y x y??????而 3333( , ) ( 0 , 0 )s in ( )l im 1xyxyxy?? ??3322( , ) ( ,0 )l im 0xyxyxy??? ??所以 3322( , ) ( 0 ,0 )s in ( )l imxyxyxy???3 3 3 33 3 2 2( , ) ( 0 , 0 )s in ( )l imxyx y x yx y x y??????3 3 3 33 3 2 2( , ) ( 0 , 0 ) ( , ) ( 0 , 0 )s in ( )l im l imx y x yx y x yx y x y???????=0 (4) 利用二個重要極限 0sinlim 1,xxx? ?1li m 1 xxex??????????求極限 . ? ? 10( l im 1 )xx xe? ??例 4 求極限 3322( , ) ( 0 ,0 )s in ( )( 1 ) l im 。 00( , ) ( , )l im ( , ) .x y x y f x y A? ?若 ,M ???則 0, 0( , ) ,PD???0使當P(x,y) U 時 恒有| ( , ) |f x y M?（ 4） 極限的運算性質。 若函數 f(x,y)在點 (x0,y0)存在極限，則其極限是唯一的 . （ 2） 極限存在的的局部保號性。PPpDfP??則 不存在推論 2 0lim ( )PPpDf P A???00, l im { }, { ( ) } .n n nnD P P P P f P????n對 中任一滿足P 的點列 函數列 都收斂例 4 討論 21 , 0( , ) 0 , yxf x y ? ??? ?? 其它在 (0,0)的極限 . O xy解 : 當動點 (x,y)沿任何直線趨于 (0,0)時 , f(x,y)的極限為 0 O xy當動點 (x,y)沿拋物線 2 , ( 0 1 )y k x k? ? ?趨于 (0,0)時 , f(x,y)的極限為 1. 故 f(x,y)在 (0,0)的極限不存在 . ★ 沿著任何直線的極限存在 , 二重極限不一定存在 . 注：取動點 P趨于 P0的不同形式， 以說明二元函數極限的不存在， 是與一元函數極限的重要區(qū)別。P P P Pp E p DE D P E f P f P?????設 是 的聚點 若 不存在 則 也不存在只要能找到一種方式的極限不存在 , 則極限就不存在 . 推論 2 1 2 0 1, 。 4) 極限定義的方鄰域形式和圓鄰域形式 (在具體證題時常用這兩種形式 ). 定義 11 00,??? ? ? ? 使當 0 0 0 0| | , | | , ( , ) , ( , ) ( , )x x y y x y D x y x y??? ? ? ? ? ?時 ,恒有 | ( , ) | .f x y A ???4) 極限定義的方鄰域形式和圓鄰域形式 (在具體證題時常用這兩種形式 ). 定義 12 00,??? ? ? ? 使當 0 0 0 0| | , | | , ( , ) , ( , ) ( , )x x y y x y D x y x y??? ? ? ? ? ?時 ,恒有 | ( , ) | .f x y A ???定義 13 00,??? ? ? ? 使當 2 2 2022 ( ) ( )x x y y ?? ? ? ? ?或 22022 ( ) ( )x x y y ?? ? ? ? ?時 ,恒有 | ( , ) | .f x y A ???2. 用定義證明極限 基本思路 : 根據 ? 找 ,? 使當 0 0 0 0| | , | | , ( , ) , ( , ) ( , ) ,x x y y x y D x y x y??? ? ? ?或 2 2 2022 ( ) ( )x x y y ?? ? ? ? ?時 ,有 | ( , ) | .f x y A ???找 ? 的方法 : | ( , ) |f x y A?逐次放大出 0||xx?與 0||yy?的線性組合 或含因子 2200( ) ( )x x y y? ? ?的式子 例 1 依定義證明： 22( , ) ( 2 ,1 )l im ( ) 7 .xy x x y y? ? ? ?分析： 22| 7 |x x y y? ? ?逐次放大出 ||x 2|與| y1 的線性組合22| 7 |x x y y? ? ? = 22| ( 4) 3 |x x y y? ? ? ?= 22| ( 4) ( 1 ) 2 |x y x y? ? ? ? ?= 22| ( 4) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 2) |x y x y y y? ? ? ? ? ? ?= | ( 2) ( 2) ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 2( 1 ) |x x y y y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?例 1 依定義證明： 22( , ) ( 2 ,1 )l im ( ) 7 .xy x x y y? ? ? ?22| 7 |x x y y? ? ? = 22| ( 4) 3 |x x y y? ? ? ?= 22| ( 4) ( 1 ) 2 |x y x y? ? ? ? ?= 22| ( 4) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 2) |x y x y y y? ? ? ? ? ? ?= | ( 2) ( 2) ( 1 ) ( 1 ) ( 2) 2( 1 ) |x x y y y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?≤ | 2 || 2 | | 1 || 1 | | || 2 | 2 | 1 |x x y y y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?問題轉化為：如何將 | 2 |, | 1 |, | ||x y y?? 放大為常數？ 可以對 ||x2|與|y1 進行常數限制，從而可以把 | 2 |, | 1 |, | ||x y y??放大為常數
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