第二章導(dǎo)數(shù)與微分21導(dǎo)數(shù)的概念22函數(shù)的和、差、積、商-資料下載頁
2024-09-28 14:11本頁面
【導(dǎo)讀】函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。﹡導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)定義。例1：求變速直線運(yùn)動的瞬時速度.設(shè)物體作變速直線運(yùn)動，它的運(yùn)動方程(),sft?例2：求曲線切線的斜率.是割線MN的傾斜角.x仍在該鄰域內(nèi)）時，x如果當(dāng)時，兩個增量之比的極限。此時，也稱函數(shù)y=f在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)，或?qū)?shù)存在。如果上述極限不存在，則稱函數(shù)y=f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，函數(shù)y=f在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),這時,對于區(qū)間I內(nèi)每一點(diǎn)x,
【正文】 ?? ? ? ? ? ? ? ??一般地，可得 ,)1(, 21 ?? ?????? ?? ??? xyxy34( 1 ) ( 2 ) , ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )y x y x??? ? ? ? ? ? ?????? ???? ? ? ? ? ? ? ，() ( 1 ) ( 2) ( 1 ) .nny n x ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?!123)2)(1()( nnnny n ?????? ?首頁 上頁 下頁 例 9 20 12s v t gt?? 0v ,g已知物體作直線運(yùn)動的方程是 ( 都是常數(shù) ), 求物體運(yùn)動的加速度 . 解 0s 39。 v g t ,??s39。39。 g .??a g .? ? ? 高階導(dǎo)數(shù) dtdstsv ??? )(( ) [ ( ) ] ( ) .v v t s t s t a? ? ? ? ??? ? ? ?速度 加速度 首頁 上頁 下頁 高階導(dǎo)數(shù) 例 10 s A c o s ( w t )???A, ,??已知物體運(yùn)動的方程為 ，其中 都是常數(shù)。求物體運(yùn)動的加速度 . [ s in ( ) ] ( )s in ( ) ,s A t tAt? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ???2c o s ( ) ( )c o s ( ) .s A t tAt? ? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ???2 c os( ) .a A t? ? ?? ? ? ?解 首頁 上頁 下頁 函數(shù)的微分 1. 微分的定義 2. 微分的幾何意義 3. 微分公式與微分運(yùn)算法則 4. 微分在近似計算中的應(yīng)用 首頁 上頁 下頁 函數(shù)的微分 1. 微分的定義 定義 0x0x設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，則 叫作 在點(diǎn) 處的 微分 ，記作 0x此時，也稱函數(shù) 在點(diǎn) 處 可微 . 例1 3yx? 2x? 0 01x.? ?求函數(shù) 當(dāng) ， 時的增量及微分 . 解 )( xfy ? xxf ?? )( 0)(xfy ?0 ,xxdy ?0 0( ) .xxd y f x x? ???即 )( xfy ?33( 2 1 ) 2 206 01 ,y? ? ? ? ?32( ) 3 ,d y x x x x?? ? ? ? ?,2 ??? xx 22 3 2 0 .0 1 0 .1 2 .xdy ?? ? ? ? ?dxxfdy )(?? ( ) .dy fxdx ??? 微商 首頁 上頁 下頁 x?的縱坐標(biāo)對應(yīng)于 的增量 . xyo)(xfy ?xx ??0 P T y?N 0xx?M ） ?dyQMPxf ??? )(tan0?QPMQMPdxxfdy ????? )( 00xx?函數(shù) 在點(diǎn) 的微分就是曲線 MT在點(diǎn) 處的切線 )( xfy ? )( xfy ?00( , ( ) )P x f x首頁 上頁 下頁 .11)c o t()16(.11)( a r c t a n)15(.11)( a r c c o s)14(.11)( a r c s i n)13(.c o tc s c)( c s c)12(.t a ns e c)( s e c)11(.c s cs i n1)( c o t)10(.s e cc o s1)( t a n)9(.s i n)( c o s)8(.c o s)( s i n)7(.1)( l n)6(.ln1)( l o g)5(.)()4(.ln)()3(.)()2().(0)()1(222222221dxxxa r tdxxxdxxxdxxxx d xxxx d xxxx d xxxx d xxxx d xxx d xxdxxxdxaxxdxeeadxaadxxxCCaxxxx????????????????????????????????????????????????為常數(shù)首頁 上頁 下頁 II．函數(shù)的和、差、積、商的微分法則 .)4(.)()3(.)()2(.)()1(2vudvv d uvudC d uCudv d uudvuvddvduvud??????????????其中 u， v都是 x的函數(shù)， C為常數(shù) . Ⅲ . 復(fù)合函數(shù)的微分法則 復(fù)合函數(shù)的微分法則 如果 ( ) , ( ) ,y f u u x??? 且都可導(dǎo)， 則復(fù)合函數(shù) )]([ xfy ?? 的微分 ( ) ( ) ( ) .dy f u du f u x dx?? ? ???微分形式不變性 ? 首頁 上頁 下頁 例 2 2a x b x cye ??? ，求 解 法一 利用微分的定義 解 法二 利用微分形式不變性 .)2())(()(222 2dxebaxdxcbxaxedxedycbxaxcbxaxcbxax??????????????.)2()()(22 2dxebaxcbxaxdedycbxaxcbxax?????????首頁 上頁 下頁 例 3 xe sin xy x? ，求 解 2( s in ) s inxxx d e x e x d xdyx???2( s in s in ) s inx x xx e d x x d e e x d xx?? ?2( c o s s in ) s inx x xx e x d x x e d x e x d xx?? ?2( c o s s in s in ) .xe x x x x x d xx??首頁 上頁 下頁 例 4 2 2 22x x y y a? ? ?y f ( x )?dy 求方程 確定的隱函數(shù) 的微分 及導(dǎo)數(shù) 解 yxdy dxyx????dy y xdx y x???? 2 2 2( 2 ) ( ) .d x x y y d a? ? ?22( ) ( 2 ) ( ) 0d x d x y d y? ? ? ?2 2( ) 2 0x dx y dx x dy y dy? ? ? ? ?( ) ( )x y dx y x dy? ? ? ?首頁 上頁 下頁 例 5 在下列等式左邊的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立 . 解 （ 1） 一般地，有 （ 2） 一般地，有 ( 1 ) ( ) . ( 2) ( ) si n 2 .d x dx d x dx??xd xxd 2)( 2 ? 221 ( ) ( ) .22xx d x d x d? ? ?2( ) .2xd x d x??2( ) ( ) .2xd C x d x C?? 為 任 意 常 數(shù)x d xxd 2s i n2)2( c o s ??11s in 2 ( c o s 2 ) ( c o s 2 ) .22x d x d x d x? ? ? ? ?1( c o s 2 ) si n 2 .2d x x d x? ? ?1( c o s 2 ) s in 2 ( ) .2d x C x d x C? ? ? 為 任 意 常 數(shù)首頁 上頁 下頁 | x|?由微分的概念知，當(dāng) ，且當(dāng) 很小時，有 （ 1） （ 2） （ 3） y?0x利用（ 1）式可以求解增量 在 鄰近的近似值 . 的近似值 ,利用 (2),(3)式 可以求函數(shù) 0)( 0 ?? xfxxfy ???? )( 0)()( 00 xfxxfy ?????0 0 0( ) ( ) ( ) .y f x x f x f x x?? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0( ) ( ) ( )f x x f x f x x?? ? ? ? ? ?00 , xxxxxx ?????? 即0 0 0( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x x x?? ? ? ?)(xfy ?首頁 上頁 下頁 例 6 有一批半徑為 1cm的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，厚度定為 （銅的密度是 ) 解 于是，每只球需用的銅約為 鍍層的體積等于兩個球體積之差 304 , 1 , 0 .0 13V R R R?? ? ? ?23 4)34( RRV ?? ????0()y f x x?? ? ? ?)( 2220 cmRRV ???????? ? ( ) .g??首頁 上頁 下頁 例 7 求 3102. 的近似值 . 解 設(shè) 則 所以 ,根據(jù)公式 得 3 0( ) , 1 , 0 .0 2 ,f x x x x? ? ? ?3 211( 1 ) 1 , ( ) , ( 1 ) .33f f x fx??? ? ?0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ,f x f x f x x x?? ? ?33 11 . 0 2 1 0 . 0 2 1 0 . 0 2 1 . 0 0 6 7 .3? ? ? ? ? ?首頁 上頁 下頁 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) , 0f x f x f x x x x?? ? ? ?( ) ( 0) ( 0) .f x f f x?? ? ?.ta n)5(.s in)4(.)1ln ()3(.1)2(.1)1()1(xxxxxxxexxx????????? ??（其中（ 4），（ 5）式中 x用弧度作單位） . 首頁 上頁 下頁
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