【正文】 g .??a g .? ? ? 高階導(dǎo)數(shù) dtdstsv ??? )(( ) [ ( ) ] ( ) .v v t s t s t a? ? ? ? ??? ? ? ?速度 加速度 首頁 上頁 下頁 高階導(dǎo)數(shù) 例 10 s A c o s ( w t )???A, ,??已知物體運動的方程為 ，其中 都是常數(shù)。39。 e ,? xy39。39。 | .設(shè) ，求 解 高階導(dǎo)數(shù) 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為 高階導(dǎo)數(shù) . ,s i nc o s xxy ???si n c os ,y x x?? ? ? ?0 sin 0 c os 0 ??? ? ? ? ? ?首頁 上頁 下頁 例 3 證 驗證函數(shù) 12xxy C e C e ???（ C1,C2為常數(shù)）的二階導(dǎo)數(shù) 12xxy 39。 a x b ,2?y39。.解 例 4 設(shè) ，求 y39。 | ,于是所求切線方程為 即 3 4 8 3 0? ? ?x y .例 4 求冪指函數(shù) 0xy x ( x )?? 的導(dǎo)數(shù) . 解 333 ( 2 ) ,24yx? ? ? ? 兩邊取對數(shù)，得 ln ln .y x x?兩邊對 x求導(dǎo)，得 1 l n 1 ,xyxy ?? ? ?( l n 1 ) ( l n 1 ) .xxy y x x x?? ? ? ? ?先取對數(shù) ,再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法求導(dǎo)的方法叫做 對數(shù)求導(dǎo)法 . )()( xvxuy ?對數(shù)求導(dǎo)法 ( ) l n ( ) ,v x u xye? 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法首頁 上頁 下頁 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例 5 的導(dǎo)數(shù) . 解 例 6 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) . 解 s in ( 0)xy x x??求???????? )ln( s in)()( lns i nlns i ns i n xxeexy xxxxx?????? ])( lns inln)[ ( s inlns i n xxxxe xxs i n s inc o s l n .x xx x xx???????)4()4)(3( )2)(1( ??? ??? xxx xxy1l n [ l n ( 1 ) l n ( 2 ) l n ( 3 ) l n ( 4 ) ] ,2y x x x x? ? ? ? ? ? ? ?兩邊取對數(shù)，得 兩邊對 x求導(dǎo)數(shù)，得 1 1 1 1 1 1 ,2 1 2 3 4yy x x x x???? ? ? ? ???? ? ? ???首頁 上頁 下頁 例 7 求函數(shù) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù) . 解 1 1 1 1 12 1 2 3 41 ( 1 ) ( 2) 1 1 1 1 .2 ( 3 ) ( 4) 1 2 3 4yyx x x xxxx x x x x x???? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ??? ? ???? ? ? ? ? ???)11(a r c s i n ???? xxy)11(a r c s i n ???? xxy s in .22x y y????? ? ? ? ?????兩邊對 x求導(dǎo)數(shù)，得 1 c os .xyy ???1 .c o sxy y???, c o s 022yy??? ? ? ?時 22c o s 1 sin 1 .y y x? ? ? ? ?21( a r c s in ) ( 1 1 ) .1xx x?? ? ? ? ??首頁 上頁 下頁 例 8 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) . 解 211?? ?xy 39。 .解 方程兩端對 x求導(dǎo)數(shù)，得 例 3 求橢圓 22116 9xy?? 在點 處的切線方程 . 解 所求切線斜率為 2?? xk y 39。 解 在點（ 2， 8）處的切線斜率為 所以，所求切線方程為 8 1 2 2? ? ?（ ） ,yx所求法線斜率為 于是所求法線方程為 12 16 ? ? ? ?18 ( 2 ) ,12yx? ? ? ?12 98 ? ? ? ? 首頁 上頁 下頁 定理 如果函數(shù) y=f(x)在點 x0處可導(dǎo)，則它在點 x0處一定連續(xù) . 注意 上述定理的逆定理是不成立的 . 例如 ，函數(shù) ? 0 0x , x ,x , xy | x | ????? 在 x=0連續(xù)但不可導(dǎo)，因為 于是有 xy?xyo | 0 | | 0 | | |,y x x? ? ? ? ? ? ?.1l i m||l i ml i m,1l i m||l i ml i m000000??????????????????????????????????????xxxxxyxxxxxyxxxxxx首頁 上頁 下頁 00 , , l imx yx x?? ??? ?即 當(dāng) 時 左 右 極 限 存 在 但 不 相 等 所 以 極 限 不 存 在 . 函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法則 1. 函數(shù)和、差的求導(dǎo)法則 2. 函數(shù)積的求導(dǎo)法則 3. 函數(shù)商的求導(dǎo)法則 首頁 上頁 下頁 函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法則 、差的求導(dǎo)法則 定理 1 如果函數(shù) u=u(x)和 v=v(x)在點 x處都可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)=u(x)+v(x)在點 x處可導(dǎo)，且 由此可得函數(shù)和差的求導(dǎo)法則： 兩個可導(dǎo)函數(shù)的和（差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和（差） . 例 1 求 3 2yx?? 的導(dǎo)數(shù) . 解 ( ) ( ) ( ) .f x u x v x? ? ???3 3 2( 2) ( ) ( 2) 3 .y x x x? ? ? ?? ? ? ? ?1 2 1 2( ) .nnu u u u u u? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?首頁 上頁 下頁 、差、商的求導(dǎo)法則 例 2 設(shè) ，求 解 定理 2 如果函數(shù) u=u(x)和 v=v(x)在點 x處都可導(dǎo)，則函數(shù) f(x)=u(x)v(x)在點 x處可導(dǎo)，且 由此可得函數(shù)積的求導(dǎo)法則： 兩個可導(dǎo)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)等于第一個因子的導(dǎo)數(shù)乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導(dǎo)數(shù) . xexxxf ??? c o s)( 2 ( ) ( 0) .f x f??及.s i n2)c o s()( 2 xx exxexxxf ????????0( 0) 2 0 sin 0 ?? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .f x u x v x u x v x? ? ???uCCu ???)(wuvwvuvwuu v w ???????)(2. 函數(shù)積的求導(dǎo)法則 首頁 上頁 下頁 、差、商的求導(dǎo)法則 例 3 求 的導(dǎo)數(shù) . 解 例 4 求 的導(dǎo)數(shù) . 解 例 5 求 的導(dǎo)數(shù) . 解 xxy s in2?2 2 2 2( sin ) ( ) sin ( sin ) 2 sin c o s .y x x x x x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ?xxy ln10 5??????? )ln(10)ln10( 55 xxxxy).1ln5(10110ln510)( l n10ln)(1045455?????????xxxxxxxxxxxxxy s i nln ???l n si n ( l n ) si n l n ( si n )y x x x x x x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? xxxxxxxx c oslns i n1s i nlnl n si n si n l n c os .x x x x x x? ? ? ? ?首頁 上頁 下頁 定理 3 、差、商的求導(dǎo)法則 如果函數(shù) u=u(x)和 v=v(x)在點 x處都可導(dǎo)，且 0v ( x ) ?則函數(shù) f(x)=u(x)/v(x)在點 x處可導(dǎo)，且 由此可得函數(shù)商的求導(dǎo)法則： 兩個可導(dǎo)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的乘積減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的乘積，再除以分母的平方 . 3. 函數(shù)商的求導(dǎo)法則 2( ) ( ) ( ) ( )( ) .[ ( ) ]u x v x u x v xfxvx?? ?? ?首頁 上頁 下頁 函數(shù)的和、差、商的求導(dǎo)法則 例 6 求函數(shù) 11xyx???的導(dǎo)數(shù) . 例 7 求函數(shù) y tan x? 的導(dǎo)數(shù) . 解 2221 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2.( 1 ) ( 1 )x x x x xyxxxxxx???? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ? ? ? ????解222222si n c os ( si n ) si n ( c os )( t a n )c os c osc os si n 1 sec .c os c osx x x x xyxxxxxxxx????????? ? ? ????????221( ta n ) se cc o sxxx?? ? ?xx 2c s c)( c o t ??? 首頁 上頁 下頁 、差、商的求導(dǎo)法則 例 8 求函數(shù) y s e c x? 的導(dǎo)數(shù) . 即 解 類似地，可以求得余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 ? ?221 se cc os( 1 ) c os 1 ( c os ) si n se c t a n .c os c osyxxx x xxxxx?? ??? ? ? ??????? ????