第2章導(dǎo)數(shù)與微分-wenkub.com
2025-09-23 00:39 本頁(yè)面
【正文】 uv v u u v??d ( ) dC u C u? （ C 為常數(shù)）； 2ddd u v u u vv v??? ?????0( ).v ?前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 3．復(fù)合函數(shù)的微分法則 都是可導(dǎo)函數(shù)，則 ( ) ( )y f u u x???，設(shè)函數(shù) 的微分為 )]([ xfy ??復(fù)合函數(shù) ? ?? ?d ( ) d ( ) ( ) dxy f x x f u x x??? ???? 利用微分形式不變性，可以計(jì)算復(fù)合函數(shù)和隱 函數(shù)的微分 . 這就是一階微分形式不變性 . 可見，若 y=f(u)可微，不論 u是自變量還是中間變量， d ( ) dy f u u??總有 而 d ( ) du x x? ?? uufy d)(d ??于是前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 解： )32(3221)32( 222 ??????? xxxxydd2326xx??26d d .23xyxx??解：對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，得 04222 ?????? yyyxyx)( xfy ?dy的導(dǎo)數(shù) ddyx與微分 例 5 求由方程 122 22 ??? yxyx 所確定的隱函數(shù) 即導(dǎo)數(shù)為 xyyxy???? 微分為 ddxyyxyx?? ?例 4 .,32 2 yxyxy ddd 與求設(shè) ??前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 由以上討論可以看出，微分與導(dǎo)數(shù)雖是兩個(gè) 不同的概念，但卻緊密相關(guān)，求出了導(dǎo)數(shù)便立即 可得微分，求出了微分亦可得導(dǎo)數(shù)，因此，通常 把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算統(tǒng)稱為微分法． 在高等數(shù)學(xué)中，把研究導(dǎo)數(shù)和微分的有關(guān)內(nèi) 容稱為微分學(xué)． 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 0 0 0( ) ( ) d ( )y f x x f x y f x x?? ? ? ? ? ? ? ?或?qū)懗? 0 0 0( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x?? ? ? ? ?（ 1） 上式中令 00 ??? xx（ 2） 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) .f x f x f x x x?? ? ? ?，則 特別地 ,當(dāng) x0=0， x 很小時(shí) ,有 ( ) ( 0) ( 0)f x f f x??? （ 3） 公式 (1) (2) (3)可用來(lái)求函數(shù) f(x)的近似值。時(shí)比是當(dāng)?shù)诙糠?xxx ???? 0,)( 2這表明 的近似值：數(shù)作為很小時(shí)，可用其線性函 Ax ?? x x? ? ?這部分就是面積 A? 的增量的主要部分（線性主部） ,2)()( 020 0 xxx xx ???? ?A因?yàn)樗陨鲜娇蓪懗? 0( ) .A A x x?? ? ?前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) )()( 00 xfxxfy ????? 可以表示為 定義 設(shè)函數(shù) )( xfy ? 在點(diǎn) 0x的某鄰域內(nèi)有定義， 處的增量 0x在點(diǎn) )(xf如果函數(shù) ),( xoxAy ??????于是 ,（ )式可寫成 0xxdAA ???處的微分， 0x)(xfxA ??可微， 稱為 在點(diǎn) 0x處 在點(diǎn) )(xf高階的無(wú)窮小，則稱函數(shù) 時(shí) 0??x)( xo ?x?其中 A是與 無(wú)關(guān)的常數(shù)， 是當(dāng) 比 x?00 d | d | .x x x xy y A x， 即?? ? ? ?記為 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 由微分定義，函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0處可微與可導(dǎo)等價(jià)， 且 0()A f x??,因而 )(xf 在點(diǎn) x0 處的微分可寫成 0 0d ( )xxy f x x????上式兩端同除以自變量的微分，得 d()d y fxx ??因此導(dǎo)數(shù)也稱為微商． 可微函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)間 (a , b)內(nèi)每一點(diǎn)都可微， 則稱該函數(shù)在 (a , b)內(nèi)可微。 ??? 或或或.)()(limlim)( 00000 xxfxxfxyxf39。 導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 微分 結(jié)束 第 2章 導(dǎo)數(shù)與微分 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)說，其速度公式為 : ? 路 程速 度 時(shí) 間一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，物體的位置 與時(shí)間 00( ) ( )s s t t s t? ? ? ? ?的函數(shù)關(guān)系為 , 稱為位置函數(shù) ()s s t? 引例 到時(shí)刻 0tt?? s?設(shè)物體在時(shí)刻 內(nèi)經(jīng)過的路程為 0t例 1 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度． 導(dǎo)數(shù)的概念 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 00( ) ( )s t t s tsvtt? ? ??????000 00( ) ( )( ) l im l imtts s t t s tvttt? ? ? ?? ? ? ?????0()vt瞬時(shí)速度 無(wú)限變小時(shí)，平均速度 就無(wú)限接近于 vt? 0()vt時(shí)刻的 越小 ,平均速度 就越接近于物體在 0tt? v0t0t?? 時(shí)，平均速度 的極限值就是物體在 v時(shí)刻的瞬時(shí)速度 ，即 0()vt0tt??到時(shí)刻 0t于是，物體在時(shí)刻 的平均速度為 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 例 2 平面曲線的切線斜率 曲線 的圖像如圖所示 , 在曲線上任取兩點(diǎn) 和 ， 作割線 ，割線的斜率為 )( xfy ?00()M x , y),( 00 yyxxN ????00( ) ( )t a nMNf x x f xykxx?? ? ??? ? ???MNyxO()y f x?? ?MNTx?0x xx ??0y?P前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 這里 為割線 MN的傾角，設(shè) 是切線 MT的傾角， 當(dāng) 時(shí)， 點(diǎn) N沿曲線趨于點(diǎn) M。xx ?????????????或 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 前頁(yè) 結(jié)束 后頁(yè) 導(dǎo)數(shù)定義與下面的形
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