第2章導數(shù)與微分(文件)
【正文】 結(jié)束 后頁 設函數(shù) u(x)與 v(x) 在點 x處均可導，則 : 定理一 ( 1 ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 。 0 0d ( ) dxxy f x x? ??于是函數(shù) 通常把 x? 記為 ，稱自變量的微分， f (x)在點 x0 處的微分又可寫成 d x d ( ) dy f x x??f(x) 在 (a,b)內(nèi)任一點 x處的微分記為 前頁 結(jié)束 后頁 解： )( 2222 ???????? xxxy例 2 求函數(shù) y=x2 在 x=1, ?? x 時的改變量和微分。 0( ) 0fx? ?，且 x? 很小時，我們有近似公式 在 x0 點的導數(shù) ()y f x?由微分的定義可知，當函數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 注： 在求 )(xf 的近似值時，要選擇適當?shù)? 0x，使 )( 0xf ， )( 0xf ? 容易求得，且 0xx ?較?。? 應用（ 3）式可以推得一些常用的近似公式 ,當 x 很小時 ,有 (1) xx ?sin （ ｘ 用弧度作單位） (3) xe x ?? 1(4) xx ?? )1ln ( (5) xnxn 111 ???(2) xx ?ta n (ｘ 用弧度作單位） 前頁 結(jié)束 后頁 例 6 .46s i n 的近似值計算 ?則 1 8 010???? ?xx解 : 設 ,s in)( xxf ? 取 ?46?x ， 4450??? ?x于是由（ 2）式得 ).(c o ss i ns i n 000 xxxxx ???? 22 2 ???? ?1804c o s4s i n46s i n??? ????即 。u v u v? ? ?d( ) d d 。 ( , )F x yy?2 0yxe x y e? ? ?即 前頁 結(jié)束 后頁 例 10 dxdyyxy 求設 ),2a r c t a n ( ??解： 兩邊對 x求導得 )21()2(1 1 2 yyxy ??????1)2(12 ???? yxy得解出 ,y ?前頁 結(jié)束 后頁 )1l n ( 2)1( xxx exyy ????? 2可以寫成函數(shù)解一 ][ )1l n ( 2 ???? ?? xxey])1l n ([ 2)1l n ( 2 ???? ?? xxe xx?????? ?????? ?? )1(1)1l n ( 222)1l n (2xxxxe xx??????????? 222212)1l n ()1(xxxx xyxy x ??? 求設 ,)1( 2例 11 前頁 結(jié)束 后頁 )1l n (ln 2xxy ???兩邊對 x求導，由鏈導法有 xxxxyy 21)1l n (1 22 ??????22212)1l n (xxx????????????????? 222212)1l n ()1(xxxxy x 解二稱為 對數(shù)求導法 ，可用來求冪指函數(shù)和多個因子連乘積函數(shù)、開方及其它適用于對數(shù)化簡的函數(shù)的求導 注： 兩邊取自然對數(shù)將函數(shù) xxy )1( 2??解二 前頁 結(jié)束 后頁 )1l n (21)43l n (21)1l n (21ln 2 ?????? xxxy解： 將函數(shù)取自然對數(shù)得 )1(21)43(23112 ??????? xxxxyy兩邊對 x求導得 2231( 1 ) ( 3 4 ) ( 1 )1 2 ( 3 4 ) 2 ( 1 )xy x x xx x x??? ? ? ? ? ? ???? ? ???所 以yxxxy ????? 求設 ,)1)(43)(1( 2例 12 前頁 結(jié)束 后頁 且 )(tx ??)(),( tytx ?? ??設 均可導 , 具有單值連續(xù) 反函數(shù) )(1 xt ?? ? ， 則參數(shù)方程確定的函數(shù)可看成 )( ty ??與 )(1 xt ?? ? 復合而成的函數(shù)， 根據(jù)求導法則有： 求得 y對 x的導數(shù) 對參數(shù)方程所確定的函數(shù) y=f(x),可利用參數(shù)方程直接 d y d y d td x d t d x??dtdxdtdy 1??)(1)(tt ?? ????()()tt?????此即參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導公式 變量 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系有時是由參數(shù)方程 )()({txty????確定的，其中 t 稱為參數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 解： 曲線上對應 t =1的點（ x, y)為（ 0,0） , 曲線 t =1在處的切線斜率為 1??tdxdyk12231???ttt122 ???于是所求的切線方程為 y =－ x 123{????txtty求曲線 在 t =1處的切線方程 例 13 前頁 結(jié)束 后頁 ??????? dxdydxddx yd 22即 ,)( ????? yy ])([)( ????? xfxf 或 22 )(dxxfd,y??記作 ),(xf ??22dxyd 或 二階導數(shù)： )( xfy ???如果函數(shù) f(x)的導函數(shù) 仍是 x的可導 函數(shù)，就稱 )( xfy ??? 的導數(shù)為 f(x)的二階導數(shù)， n階導數(shù)： ( ) ( )( ) ( )n nnnd d d d yf x f x yd x d x d x d x? ? ?二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù) 高階導數(shù)的計算： 運用導數(shù)運算法則與基本公式將函數(shù)逐次求導 高階導數(shù) 前頁 結(jié)束 后頁 ,ln aay x??解： nxn aay )( l n)( ?,)( l n 2aay x??? ,特別地 ,)( xx ee ??xnx ee ?)()(,)( xx ee ??? ,例 15 )(,s i n nyxy 求設 ???????? ???? )2s i n ( ?xy )2c o s (??? x )22s i
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