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高等數(shù)學(xué)-第9章---(偏導(dǎo)數(shù)-全微分)-wenkub.com

2025-08-02 18:40 本頁(yè)面
   

【正文】 解: 構(gòu)造函數(shù) ,則 33 yx)y,x(f ??332x yx2x3)y,x(f???332y yx2y3)y,x(f??? 設(shè) 一金屬圓柱受壓變形后 , 底面半徑由原來(lái)的 20厘米變到 , 高由原來(lái)的 40厘米減少到 , 求該金屬體體積變化的近似值 。 623 54 yxxyz ??解:先求函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù): 52263 3012104 yxxyyzxyyxz ????????所以 dyyxxydxxyydz )3012()104( 5263 ????例 2 求函數(shù) 在點(diǎn)( 2, 1)處的全微分。 )y,x(fz ?討論函數(shù): ??????????0yx00yxyxxy222222由以前的討論可知,在點(diǎn)( 0, 0)處它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,可該函數(shù)在此點(diǎn)卻不連續(xù),不連續(xù)肯定不可微。 則稱函數(shù) 在點(diǎn) )y,x(fz ?( x, y)處 可微 , yBxA ?? ??? 稱函數(shù)在點(diǎn) (x,y) 處的 全微分 ,記作 dz或 df(x,y),即 yBxAdz ?? ????顯然, dz≈Δz 一、全微分 二 可微的必要和充分條件 定理(可微的必要條件) 如果函數(shù) 在點(diǎn)( x, y)處可微,則它在該點(diǎn)處必連續(xù),且它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,并且 )y,x(fz ?yyzxxzdz ?? ??????證明: )y,x(fz ?由函數(shù) 在點(diǎn)( x, y)處可微有 )(yBxAz ????? ?????所以 0)]y,x(f)yy,xx(f[l i mzl i m0y 0x0y 0x????????????????即 )y,x(f)yy,xx(flim0y 0x?????????因此,函數(shù) 在點(diǎn)( x, y)連續(xù)。 ),(22yxfxzxzx xx??????????????),(22yxfyzyzy yy????????????????),(2yxfyxzxzy xy???????????????),(2yxfxyzyzx yx?????????????????函數(shù) ),( yxfz ? 的二階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) . 三、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè) 13 323 ???? xyxyyxz , 求22xz??、xyz???yxz???22yz??及33xz??. 解 xz?? ,33 322 yyyx ???yz?? 。 yxxz 32 ???? yxyz 23 ????8231221 ?????????yxxz7221321 ?????????yxyz例 2 設(shè) yxz ? )1,0( ?? xx , 求證 zyzxxzyx2ln1??????. 證明 ???xz ,1?yyx ???yz ,ln xx yyzxxz
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