高等數(shù)學-第9章---(偏導(dǎo)數(shù)-全微分)-免費閱讀
【正文】 )y4x3s in (ez yx2 ??? ?解： ? ?3)y4x3c o s (e3)y4x3s i n (e2xz 0y 0xyx2yx20y0x??????? ??????? ? 4)y4x3c o s (e4)y4x3s i n (eyz0y0xyx2yx20y0x?????????????所以 ??????????? ??此題可理解為： 在點（ 0， 0）處 x， y分別有增量Δx=， Δy=，函數(shù)也產(chǎn)生增量 Δz，并且Δz≈dz=。 不妨取 Δy=0，則有 |)x(|xAz ???? ???上式兩邊同除以 Δx，再令 Δx→0 ， 則有 Ax |)x(|l i mAx )y,x(f)y,xx(fl i m0x0x??????? ???????即說明 存在，且 xz?? Axz ???同理可證 存在，且 yz?? Byz ???故有 yyzxxzdz ?? ?????? 注意： 此命題不可逆。),(),( xdxxdfxfx 211 ??4)1,2( ?xf例 4 解 ).1,2(),1,( xx fxf求說 明 .),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)求設(shè)yxfyxyxyxxyyxf?????????例 5 解 ,)0,0(),( 時當 ?yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ????? ,)()(22222yxxyy???22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ?????,)()(22222yxyxx???(3)求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求； ,)0,0(),( 時當 ?yx按定義可知： xfxffxx ???)0,0()0,(l i m)0,0(0???,00l i m0??? xx ??yfyffyy ???)0,0(),0(l i m)0,0(0???,00lim0??? yy ??,)0,0(),(0)0,0(),()()(),( 22222??????????yxyxyxxyyyxf x.)0,0(),(0)0,0(),()()(),( 22222??????????yxyxyxyxxyxf y3 . 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系 例如 , 函數(shù)???????????0,00,),(222222yxyxyxxyyxf , 依定義知在 )0,0( 處， 0)0,0()0,0( ?? yx ff . 但函數(shù)在該點處并不連續(xù) . 偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù) . 一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)， 多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)， ,),()),(,( 00000 上一點為曲面設(shè) yxfzyxfyxM ?如圖 偏導(dǎo)數(shù) ???? ??0,??0 就是曲面被平面 ?? = ??0 所截得的曲線在點??0處 的 切線 ??0????對 ??軸的 斜率 。 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義與計算方法 1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念 定義 設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在點 ),(00 yx的某一鄰域內(nèi)有定義，當 y 固定在0y而 x 在0x處有增量 x? 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000
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