【正文】 22yz?? 。 解 ： 20cm 40cm 設圓柱體的底面半徑為 r，高為 h，體積為V，則有 hrV 2?=此時 hrrrh2hhVrrVdV 2 ?????? ?+?=???+???=其中 r=20， h=40， Δr=， Δh= 故有 )cm()(32=+≈≈? — 即金屬體受壓后體積減少了 。 定義 設函數(shù) 在點 (x， y)的某個鄰域內(nèi)有定義，點（ x+Δx， y+Δy）在該鄰域內(nèi)， 如果函數(shù) 在點（ x， y）的全增量 )y,x(fz ?)y,x(fz ?)y,x(f)yy,xx(fz ???? ???可以表示為 )(yBxAz ????? ?????其中 A， B與 Δx,Δy無關(guān)， )(?? 是當 22 )y()x( ??? ??→0 時比 ρ 高階的無窮小。),(),( xdxxdfxfx 211 ??4)1,2( ?xf例 4 解 ).1,2(),1,( xx fxf求說 明 .),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏導數(shù)求設yxfyxyxyxxyyxf?????????例 5 解 ,)0,0(),( 時當 ?yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ????? ,)()(22222yxxyy???22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ?????,)()(22222yxyxx???(3)求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求； ,)0,0(),( 時當 ?yx按定義可知： xfxffxx ???)0,0()0,(l i m)0,0(0???,00l i m0??? xx ??yfyffyy ???)0,0(),0(l i m)0,0(0???,00lim0??? yy ??,)0,0(),(0)0,0(),()()(),( 22222??????????yxyxyxxyyyxf x.)0,0(),(0)0,0(),()()(),( 22222??????????yxyxyxyxxyxf y3 . 偏導數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系 例如 , 函數(shù)???????????0,00,),(222222yxyxyxxyyxf , 依定義知在 )0,0( 處， 0)0,0()0,0( ?? yx ff . 但函數(shù)在該點處并不連續(xù) . 偏導數(shù)存在 連續(xù) . 一元函數(shù)中在某點可導 連續(xù)， 多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)， ,),()),(,( 00000 上一點為曲面設 yxfzyxfyxM ?如圖 偏導數(shù) ???? ??0,??0 就是曲面被平面 ?? = ??0 所截得的曲線在點??0處 的 切線 ??0????對 ??軸的 斜率 。 )y4x3s in (ez yx2 ??? ?解： ? ?3)y4x3c o s (e3)y4x3s i n (e2xz 0y 0xyx2yx20y0x??????? ??????? ? 4)y4x3c o s (e4)y4x3s i n (eyz0y0xyx2yx20y0x?????????????所以 ?????