高等數(shù)學(xué)-第9章---(偏導(dǎo)數(shù)-全微分)(參考版)
2025-08-08 18:40本頁面
【正文】 解 ： 20cm 40cm 設(shè)圓柱體的底面半徑為 r，高為 h，體積為V，則有 hrV 2?=此時 hrrrh2hhVrrVdV 2 ?????? ?+?=???+???=其中 r=20， h=40， Δr=， Δh= 故有 )cm()(32=+≈≈? — 即金屬體受壓后體積減少了 。 取 ,2y,1x00 ????? ??則 33 21)2,1(f ??2)2,1(f,)2,1(f yx ????所以 )( 33 ????????例 5 計算 的近似值。 32),( yxyxf ?解：因?yàn)? 12)1,2(,4)1,2(3),(,2),( 223???????yxyxffyxyxfxyyxf所以 dydxdz 124| )1,2( ???? 例 3 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)（ 0， 0）有增量 Δx=， Δy=，求全微分 dz。 由于自變量的微分等于自變量的微分，故二元函數(shù) 的全微分習(xí)慣上可寫為 )y,x(fz ?dyyzdxxzdz ??????類似地，三元函數(shù) 的全微分為 )z,y,x(uu ?dzzudyyudxxudu ?????????例 1 求函數(shù) 的全微分。 定理（可微的充分條件） 如果函數(shù) 的兩個偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn)（ x，y）都存在且連續(xù)，則該 函數(shù)在該點(diǎn) 可微。即若兩偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù) 在點(diǎn)（ x， y）可微。 )y,x(fz ?又因?yàn)? 中的 A， B與 )(yBxAz ????? ?????Δx， Δy無關(guān)，也就是該式對任意的 Δx， Δy都成立。 定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) (x， y)的某個鄰域內(nèi)有定義，點(diǎn)（ x+Δx， y+Δy）在該鄰域內(nèi)， 如果函數(shù) 在點(diǎn)（ x， y）的全增量 )y,x(fz ?)y,x(fz ?)y,x(f)yy,xx(fz ???? ???可以表示為 )(yBxAz ????? ?????其中 A， B與 Δx,Δy無關(guān)， )(?? 是當(dāng) 22 )y()x( ??? ??→0 時比 ρ 高階的無窮小。92 23 xxyyx ???22xz?? ,62xy?22yz?? 。 偏導(dǎo)數(shù) ???? ??0,??0 就是曲面被平面 ?? = ??0 所 截 得 的 曲 線 在 點(diǎn)??0處 的 切線 ??0????對 ??軸的 斜率 。 (2)求 fx (x0， y0)時，可先將 y0代入得 ),(),( 0 xyxf ?? ，再求dxd? ，即dxyxdfdxd ),( 0??最后再將 x0代入 . ,a r c s i n)1(),( 2yxyxyxf ???,)1,( 2xxf ? 。 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義與計算方法 1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念 定義 設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00 yx的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) y 固定在0y而 x 在0x處有增量 x? 時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000 yxfyxxf ???， 如果xyxfyxxfx ??????),(),(l i m00000 ( 1 ) 存
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