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正文內(nèi)容

[理學(xué)]高等數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)微分課后習(xí)題詳解word版共享了(參考版)

2025-01-12 01:20本頁(yè)面
  

【正文】 ★★ a 及 b 為何值時(shí),點(diǎn) )31(, 為曲線 23 bxaxy ?? 的拐點(diǎn)? 知識(shí)點(diǎn) :導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 思路 :同 7。 ★★★ 112 ???xxy的拐點(diǎn)。 ( 2)令 xy cos? , ∵在 )22( π,π? 內(nèi), cos 0yx?? ?? ? , ∴ xy cos? 在 )22( π,π? 內(nèi)是凸的。 證明 :( 1)令 xey? , ∵ 0xye????, ∴ xey? 在 )( ????, 內(nèi)是凹的。 知識(shí)點(diǎn) :函數(shù)凹凸性的概念。 ( 6) xey arctan? 的定義域?yàn)?)( ????, , arctan21xey x?? ? ,22(1 2 )(1 )arcanxexyx??? ? ?, 令 0y??? ,得 21?x ; 當(dāng) 21?x 時(shí), 0y??? ; 當(dāng) 21?x 時(shí), 0y??? ; ∴ xey arctan? 的凹區(qū)間為 ]21( ,?? ,凸區(qū)間為 )21[ ??, ,拐點(diǎn)為 )21( 21arctan,e 。 ( 4) xexy ??? 4)1( 的定義域?yàn)?)( ????, , 34( 1) xy x e?? ? ?, 212( 1) xy x e?? ? ? ?0? , ∴ xexy ??? 4)1( 在整個(gè)定義域上為凹函數(shù),沒(méi)有拐點(diǎn)。 ( 2)12 ??? x xxy的定義域?yàn)?)1()11()1( ?????? , ?? ; 22211 ( 1)xy x ???? ?, 2232 ( 3)( 1)xxy x ??? ? ?, 令 0y??? ,得 0?x ; 當(dāng) 1??x 或 10 ??x 時(shí), 0y??? ;當(dāng) 01 ??? x 或 1?x 時(shí), 0y??? ; ∴ 12 ??? x xxy的凹區(qū)間為 )01( ,? 、 )1( ??, ,凸區(qū)間為 1),( ??? 、 1),0( ; ∴ 拐點(diǎn) 為 )00(, 。 思路 :利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的凹凸性;求拐點(diǎn)和凹凸區(qū)間,用二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn),將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間,然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性;如果劃分定義域 的點(diǎn)有兩個(gè)或以上,可列表討論,使得思路更清晰一些。 ★★ : ( 1) )0(1 ??? xxxy ; ( 2)12 ??? x xxy ; ( 3) xxy arctan? ; ( 4) xexy ??? 4)1( ; ( 5) )1ln( 2 ?? xy ; ( 6) xey arctan? 。 解 :?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)。 知識(shí)點(diǎn) :導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 解 :易知, 00sin ? ,即 0?x 是方程的一個(gè)根; 令 xxxf sin)( ?? ,則 ( ) 1 cos 0f x x? ? ? ?(僅在 )(2 Zkkπx ?? 處 ( ) 0fx? ? ), ∴ xxxf sin)( ?? 在 )( ????, 內(nèi)嚴(yán)格單增,從而 )(xf 只有一個(gè)零點(diǎn), 即方程 xx?sin 只有一個(gè)實(shí)根。 知識(shí)點(diǎn) :導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 ( 4)令 xxxg ?? tan)( ,則當(dāng) 20 πx?? 時(shí),有 22( ) se c 1 ta n 0g x x x? ? ? ? ? 從而 xxxg ?? tan)( 在 )20( π, 內(nèi)嚴(yán)格單增, ∴ 0)0()( ?? gxg ,即 在 )20( π, 內(nèi) xx?tan ; 再令 331tan)( xxxxf ??? , 則當(dāng) 20 πx?? 時(shí), 2 2 2 2( ) se c 1 ta n 0f x x x x x? ? ? ? ? ? ?, 從而 331tan)( xxxxf ??? 在 )20( π, 內(nèi)嚴(yán)格單增, ∴ 0)0()( ?? fxf , 即在 )20( π, 內(nèi) 331tan xxx ?? ,結(jié)論成立。 方 法二 :令 xxxf ln22ln)( ?? , 當(dāng) 4?x 時(shí), 0214ln21212ln22ln)(/ ??????? xxf , ∴ xxxf ln22ln)( ?? 在 )4( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增, ∴ 04ln22ln4)4(ln22ln)( ?????? fxxxf ,從而有, xx ln22ln ? , ∴ xx ee ln22ln ? ,即 22 xx ? ,結(jié)論成立。 ( 2) 方法一 :令 22)( xxf x ?? ,則當(dāng) 4?x 時(shí), ( ) 2 ln 2 2xf x x? ??, 2 2 2 2 2 2( ) 2 l n 2 2 ( 4 ) 1 6 l n 2 2 ( l n 4 ) 2 ( l n ) 2 0xf x f e?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, ∴ ( ) 2 ln 2 2xf x x? ??在 )4( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增, 從而 ( ) 2 l n 2 2 ( 4) 16 l n 2 4 4( l n 16 1 ) 0xf x x f??? ? ? ? ? ? ? ?, ∴ 22)( xxf x ?? 在 )4( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增,在 )4( ??, 內(nèi) 08)4(2)( 2 ????? fxxf x , ∴ 22 xx ? ,結(jié)論成立。 解 :( 1) 方 法一 :令 xxxf ???? 1211)( , 則當(dāng) 0?x 時(shí), 11()2 21fx x? ?? ? )111(21 x??? 0?, ∴ xxxf ???? 1211)( 在 )0[ ??, 上嚴(yán)格單增;從而 0)0()( ?? fxf , 即 xx ??? 1211 ,結(jié)論成立。 知識(shí)點(diǎn) :導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用或者泰勒公式的應(yīng)用。 ( 6) xxy ln2 2 ?? 的定義域?yàn)?)0( ??, ,令 21 4 140xyx xx?? ? ? ? ?,得 21?x ; 當(dāng) )210( ,x? 時(shí), 0y?? ;當(dāng) )21( ??? ,x 時(shí), 0y?? ; ∴ xxy ln2 2 ?? 在 )210(, 內(nèi)嚴(yán)格單增,在 )21( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單減。 ( 4) )1ln( 2xxy ??? 的定義域?yàn)?)( ????, , 2 2 211(1 )1 1 1xy x x x x? ? ? ?? ? ? ?0? , ∴ )1ln( 2xxy ??? 在 )( ????, 內(nèi)嚴(yán)格單增。 ( 3) 3 232 xxy ?? 的定義域?yàn)?)( ????, ;令 1 3332 2 2 ( 1 ) 033 3 xyx x? ?? ? ? ? ?, 得 1?x ; 0?x 為不可導(dǎo)點(diǎn)。列表討論如下: x )1( ???, 1? )31( ,? 3 )3( ??, ()fx? ? 0 - 0 ? )(xf ↗ ↘ ↗ 由上表可知, 1331 23 ???? xxxy 在 )1( ???, 、 )3( ??, 內(nèi)嚴(yán)格單增,而在 )31( ,? 內(nèi)嚴(yán)格單減。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,用導(dǎo)數(shù)為零的 點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn),將定義域劃分成若干個(gè)區(qū)間,然后在每個(gè)區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性;如果劃分定義域的點(diǎn)有兩個(gè)或以上,可列表討論,使得思路更清晰一些。 知識(shí)點(diǎn) :導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。 解 : ∵ ( ) 1 cos 0f x x? ? ? ?(僅在 πx? 處 ( ) 0fx? ? ), ∴ )20(s in)( πxxxxf ???? 是單調(diào)增加的。 證明 : ∵ 2222 (1 )1011xxy ?? ? ? ? ???(僅在 1?x 處 0y?? ), ∴ )1ln( 2xxy ??? 在 )( ????, 內(nèi)是單調(diào)增加的。 思路 :利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性是常用的方法。 習(xí)題 34 ★ )1ln( 2xxy ??? 單調(diào)增加。 2)拐點(diǎn)的概念:連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)成為曲線的拐點(diǎn)。 內(nèi)容概要 名稱 主要內(nèi)容( ) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 函數(shù)單調(diào)性的判別法:設(shè) )(xfy? 在 ][a,b 上連續(xù) , 在 )(a,b 內(nèi)可導(dǎo) ,則 ( 1)若在 )(a,b 內(nèi) ( ) 0fx? ? ,則 )(xfy? 在 ][a,b 上 單調(diào)增加; ( 2)若在 )(a,b 內(nèi) ( ) 0fx? ? ,則 )(xfy? 在 ][a,b 上 單調(diào)減少。 方 法一 : ∵ )(xf 在 ][a,b 上可導(dǎo),且 )()( bfaf ? , ∴ 由羅爾中值定理知,在 )(a,b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 1ξ ,使得 1( ) 0f ξ? ? ; ∵ ()fx? 在 ][][ 1 a,b,bξ ? 上可導(dǎo),且 ( ) 0fb? ? , ∴ 由羅爾中值定理知,在 )()( 1 a,b,bξ ? 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 2ξ ,使得 2( ) 0f ξ?? ? ; 依次類推可知, )()1( xf n? 在 ][ 1,bξn? ][a,b? 上可導(dǎo),且 0)()( )1(1)1( ?? ??? bfξf nnn , ∴ 由 羅爾中值定理知,在 )()( 1 a,b,bξn ?? 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ ,使得 0)()( ?ξf n 。 知識(shí)點(diǎn) :泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。 ∵ 0)()1( ?? xf n , ∴ )(xf 的 n 階麥克勞林公式為: 2( 0 )( ) ( 0 ) ( 0 ) 2!fxf x f f x ???? ? ? 3 ( ) ( 1 ) 1( 0 ) ( 0 ) ( )3 ! ! ( 1 ) !n n n nf x f x f ξ xnn?????? ? ? ? ??2( 0 )( 0 ) ( 0 ) 2!fxf f x ????? 3(0)3!fx???? ! )0()( n xf nn??? , 即 )(xf 是 n 次多項(xiàng)式 ,結(jié)論成立。易知,若 )(xf 是 n 次多項(xiàng)式,則有 0)()1( ?? xf n 。 思路 :將 )(xf 按照麥克勞林公式形式展開,根據(jù)已知條件,得結(jié)論。 函數(shù)單調(diào)性的判定定理證明之) ★★ )(xf 是 n 次多項(xiàng)式的充要條件是 0)()1( ?? xf n 。 解 :332)1(32)1ln( ξxxxx ?????( ξ 介于 0 與 x 之間),∵ 0?x ,∴ 0)1(3 33 ??ξx, 從而2)1(32)1l n(2332 xxξxxxx ???????,結(jié)論成立。 思路 :用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。 ★★ 0?x ,證明: )1ln(22 xxx ??? 。 解 :( 1) ])11()31([l i m)3(l i m 2131223 3 xxxxxxxx xx ??????? ?????? ))]1(12 )121(21)1(211())]1(o3311([l i m 2222 xoxxxxxxx ???????????? ???21))1(8921(lim ???? ??? xoxx 。 思路 :間接展開法。 ★★★ : ( 1) )3(lim 23 3 xxxxx ??????; ( 2)2220 s in)(c o s1211lim2 xexxxxx ????? 。 知識(shí)點(diǎn) :泰勒公式的應(yīng)用。 解 : 010192121!42!4!4)( 442143 .xexexR ξ ????? ; 646048181211 .e ????? 。 知識(shí)點(diǎn) :泰勒公式的應(yīng)用。 方 法二 : ?? ??????????? ??!2))()!1(!21(32112 xxxxonxxxxxe nnx )!1( ?? nxn )( nxo? 。 )(xf 中含有 xe 時(shí),通常利用已知結(jié)論 )(21 2 nnx xon!x!xxe ?????? ?。 知識(shí)點(diǎn) :麥克勞林公式。 方 法二 : nxxxxxx )1()1()1()1(1[)1(1 11 32 ??????????????? ? ])1()1( 12 1 ?? ? ??? nn n xξ ? n32 )1()1()1()1(1 ?????????? xxxx ?12 1 )1()1( ?? ? ??? nn n xξ ( ξ 介于 x 與 1? 之間) 。 思路 :直接展開法,解法同 1;或者間接展開法, )(xf 為有理分式時(shí)通常利用已知的結(jié)論21 21111 (1 )nnnx x x xx ? ??? ? ? ? ? ???。 ★★ xxf 1)( ? 按 )1( ?x 的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的 n 階泰勒公式。 方 法一 : (直接展開) 1()fxx? ? , 1(2) 2f? ? ;21()fx x?? ??, 1(2) 4f?? ?? ; 32()fxx??? ?, 1(2) 4f??? ? ;nnn xnx,f )!1()1()( 1)( ??? ??,nnn nf 2 )!1()1()2( 1)( ??? ?; 將以上結(jié)果代入泰勒公 式,得 ( 4 )2 3 4( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )l n ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 2 ! 3 ! 4 !f f f fx f x x x x!? ?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n(n) xnf )2(! )2( ?
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