高等數(shù)學-第9章---(偏導數(shù)-全微分)-閱讀頁
2025-08-20 18:40本頁面
【正文】 ， 由兩部分組成： yxxy ?? ?? Δx， Δy的線性部分 yx ?? ? 當 (Δ x,Δ y) → (0,0)時，是一個比 22 )y()x( ??? ??高階無窮小 。 則稱函數(shù) 在點 )y,x(fz ?（ x， y）處 可微 ， yBxA ?? ??? 稱函數(shù)在點 (x,y) 處的 全微分 ，記作 dz或 df(x,y)，即 yBxAdz ?? ????顯然， dz≈Δz 一、全微分 二 可微的必要和充分條件 定理（可微的必要條件） 如果函數(shù) 在點（ x， y）處可微，則它在該點處必連續(xù)，且它的兩個偏導數(shù)都存在，并且 )y,x(fz ?yyzxxzdz ?? ??????證明： )y,x(fz ?由函數(shù) 在點（ x， y）處可微有 )(yBxAz ????? ?????所以 0)]y,x(f)yy,xx(f[l i mzl i m0y 0x0y 0x????????????????即 )y,x(f)yy,xx(flim0y 0x?????????因此，函數(shù) 在點（ x， y）連續(xù)。 不妨取 Δy=0，則有 |)x(|xAz ???? ???上式兩邊同除以 Δx，再令 Δx→0 ， 則有 Ax |)x(|l i mAx )y,x(f)y,xx(fl i m0x0x??????? ???????即說明 存在，且 xz?? Axz ???同理可證 存在，且 yz?? Byz ???故有 yyzxxzdz ?? ?????? 注意： 此命題不可逆。 )y,x(fz ?討論函數(shù)： ??????????0yx00yxyxxy222222由以前的討論可知，在點（ 0， 0）處它的兩個偏導數(shù)都存在，可該函數(shù)在此點卻不連續(xù)，不連續(xù)肯定不可微。 )y,x(fz ? yz,xz ???? 以上有關(guān)概念和定理均 可以推廣到 三元及三元以上的函數(shù)中去。 623 54 yxxyz ??解：先求函數(shù)的兩個偏導數(shù)： 52263 3012104 yxxyyzxyyxz ????????所以 dyyxxydxxyydz )3012()104( 5263 ????例 2 求函數(shù) 在點（ 2， 1）處的全微分。 )y4x3s in (ez yx2 ??? ?解： ? ?3)y4x3c o s (e3)y4x3s i n (e2xz 0y 0xyx2yx20y0x??????? ??????? ? 4)y4x3c o s (e4)y4x3s i n (eyz0y0xyx2yx20y0x?????????????所以 ??????????? ??此題可理解為： 在點（ 0， 0）處 x， y分別有增量Δx=， Δy=，函數(shù)也產(chǎn)生增量 Δz，并且Δz≈dz=。 解： 構(gòu)造函數(shù) ，則 33 yx)y,x(f ??332x yx2x3)y,x(f???332y yx2y3)y,x(f??? 設(shè) 一金屬圓柱受壓變形后 ， 底面半徑由原來的 20厘米變到 ， 高由原來的 40厘米減少到 ， 求該金屬體體積變化的近似值 。 作業(yè) ? 習題 （ P52） ? 1 (3) 、 1 (6) 、 5(3) ? 習題 （ P56） ? 1 (1) 、 1 (4) 、 5
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