高等數(shù)學(xué)-第9章---(偏導(dǎo)數(shù)-全微分)(更新版)
【正文】 概念 。182 3 xyx ??33xz?? ,6 2y?xyz???2 .196 22 ??? yyxyxz???2 ,196 22 ??? yyx例 6 定理 如果函數(shù) ),( yxfz ? 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)xyz???2及yxz???2在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等． 具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？ 問題： 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？ ,22yxxxu?????,22yxyyu????,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu???????????.)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu?????????????????2222yuxu .0?2222222222)()( yxyxyxxy?????例 7 驗(yàn)證函數(shù) 22ln),( yxyxu ??滿足拉普拉 斯方程 .02222?????? yuxu解 221 ln ( ) ,2 xy??例 8 證明函數(shù) ru1?0222222?????????zuyuxu ,其中 222 zyxr ???滿足方程 證明 ,)( 212222221 ??????? zyxzyxuxzyxxu 2)(21 23222 ??????? ?2322222)( ??????? zyxx u.31 523 rxr ???23222 )( ?????? zyxxxzyxx 2))(23( 25222 ?????? ?由于函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性 ， 所以 .31 ,31 5232252322rzrzuryryu ??????????因此 222222zuyuxu????????52223)(33rzyxr?????033 523 ???? rrr因此 函數(shù) ru1? 滿足方程 0222222?????????zuyuxu 一、全微分的定義 二、可微的必要和充分條件 三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 四、小結(jié) Δx Δy x y 如圖， 一邊長(zhǎng)分別為 x、 y的長(zhǎng)方形金屬薄片， 受熱后在長(zhǎng)和寬兩個(gè)方向上都發(fā)生變化，分別為 Δx、 Δy，那么 該金屬薄片的面積 A改變了多少？ xy)yy)(xx(A ???? ???yxyxxy ???? ??????ΔA稱為面積函數(shù) A=xy的全增量， 由兩部分組成： yxxy ?? ?? Δx， Δy的線性部分 yx ?? ? 當(dāng) (Δ x,Δ y) → (0,0)時(shí)，是一個(gè)比 22 )y()x( ??? ??高階無(wú)窮小 。 )y,x(fz ? yz,xz ???? 以上有關(guān)概念和定理均 可以推廣到 三元及三元以上的函數(shù)中去。 作業(yè) ? 習(xí)題 （ P52） ? 1 (3) 、 1 (6) 、 5(3) ? 習(xí)題 （ P56） ? 1 (1) 、 1 (4) 、 5
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