高等數(shù)學(xué)-第9章---(偏導(dǎo)數(shù)-全微分)(文件)
【正文】 ???????例 1 求函數(shù) 的全微分。即若兩偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù) 在點(diǎn)（ x， y）可微。 定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) (x， y)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，點(diǎn)（ x+Δx， y+Δy）在該鄰域內(nèi)， 如果函數(shù) 在點(diǎn)（ x， y）的全增量 )y,x(fz ?)y,x(fz ?)y,x(f)yy,xx(fz ???? ???可以表示為 )(yBxAz ????? ?????其中 A， B與 Δx,Δy無關(guān)， )(?? 是當(dāng) 22 )y()x( ??? ??→0 時(shí)比 ρ 高階的無窮小。 偏導(dǎo)數(shù) ???? ??0,??0 就是曲面被平面 ?? = ??0 所 截 得 的 曲 線 在 點(diǎn)??0處 的 切線 ??0????對(duì) ??軸的 斜率 。 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算方法 1. 偏導(dǎo)數(shù)的概念 定義 設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00 yx的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) y 固定在0y而 x 在0x處有增量 x? 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000 yxfyxxf ???， 如果xyxfyxxfx ??????),(),(l i m00000 ( 1 ) 存在， (1) f (x,y)在點(diǎn) P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù) ),( yxfz ? ),( 00 yxx則稱此極限為函數(shù) 在點(diǎn) 處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)，記為 00yyxxxz????，00yyxxxf????，00yyxxxz?? 或 ),( 00 yxf x . 例如 ， 極限 (1)可以表示為 x,yxfyxxfyxfxx ???)(),(lim),( 0000000????同理可定義 函數(shù) ),( yxfz ? 在點(diǎn) ),(00 yx處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)， 為 yyxfyyxfy ??????),(),(lim00000 記為00yyxxyz????，00yyxxyf????，00yyxxyz??或 ),(00 yxf y. y,yxfyyxfyxfyy ???????)(),(lim),( 0000000即如果函數(shù) ),( yxfz ? 在區(qū)域 D 內(nèi)任一點(diǎn)),( yx 處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是 x 、 y 的函數(shù)，它就稱為函數(shù) ),( yxfz ? 對(duì)自變量 x 的偏導(dǎo)數(shù)， 記作xz??，xf??，xz或 ),( yxfx. 同理可以定義函數(shù) ),( yxfz ? 對(duì)自變量 y的偏導(dǎo)數(shù)，記作yz??，yf??，yz或 ),( yxfy. （ 2）偏導(dǎo)函數(shù) (3) 偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù) 處在如 ),(),( zyxzyxfu ?,),(),(l i m),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ???????,),(),(lim),(0 yzyxfzyyxfzyxfyy ???????.),(),(l i m),(0 zzyxfzzyxfzyxfzz ???????00),(),( 00yyxxxx yxfyxf???00),(),( 00yyxxyy yxfyxf???說 明 例
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