【正文】 )y,x(fz ? yz,xz ???? 以上有關(guān)概念和定理均 可以推廣到 三元及三元以上的函數(shù)中去。 反映在數(shù)學(xué)上就是所謂的偏導(dǎo)數(shù)問題 ， 現(xiàn)以二元函數(shù)為例 ， 引入偏導(dǎo)數(shù)的概念 。即若兩偏導(dǎo)數(shù)都存在，也不能保證函數(shù) 在點(diǎn)（ x， y）可微。 32),( yxyxf ?解：因?yàn)? 12)1,2(,4)1,2(3),(,2),( 223???????yxyxffyxyxfxyyxf所以 dydxdz 124| )1,2( ???? 例 3 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)（ 0， 0）有增量 Δx=， Δy=，求全微分 dz。 (2)求 fx (x0， y0)時，可先將 y0代入得 ),(),( 0 xyxf ?? ，再求dxd? ，即dxyxdfdxd ),( 0??最后再將 x0代入 . ,a r c s i n)1(),( 2yxyxyxf ???,)1,( 2xxf ? 。 則稱函數(shù) 在點(diǎn) )y,x(fz ?（ x， y）處 可微 ， yBxA ?? ??? 稱函數(shù)在點(diǎn) (x,y) 處的 全微分 ，記作 dz或 df(x,y)，即 yBxAdz ?? ????顯然， dz≈Δz 一、全微分 二 可微的必要和充分條件 定理（可微的必要條件） 如果函數(shù) 在點(diǎn)（ x， y）處可微，則它在該點(diǎn)處必連續(xù)，且它的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且 )y,x(fz ?yyzxxzdz ?? ??????證明： )y,x(fz ?由函數(shù) 在點(diǎn)（ x， y）處可微有 )(yBxAz ????? ?????所以 0)]y,x(f)yy,xx(f[l i mzl i m0y 0x0y 0x????????????????即 )y,x(f)yy,xx(flim0y 0x?????????因此，函數(shù) 在點(diǎn)（ x， y）連續(xù)。 解： 構(gòu)造函數(shù) ，則 33 yx)y,x(f ??332x yx2x3)y,x(f???332y yx2y3)y,x(f??? 設(shè) 一金屬圓柱受壓變形后 ， 底面半徑由原來的 20厘米變到 ， 高由原來的 40厘米減少到 ， 求該金屬體體積變化的近似值 。 ),(22yxfxzxzx xx??????????????),(22yxfyzyzy yy????????????????),(2yxfyxzxzy xy???????????????),(2yxfxyzyzx yx?????????????????函數(shù) ),( yxfz ? 的二階偏導(dǎo)數(shù)為純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù) . 三、高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè) 13 323 ???? xyxyyxz ， 求22xz??、xyz???yxz???22yz??及33xz??. 解 xz?? ,33 322 yyyx ???yz?? 。92 23 xxyyx ???22xz?? ,62xy?