偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)ppt課件-資料下載頁
2025-01-14 07:37本頁面
【正文】 ???2xyz???2 此例中兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等 . 如果函數(shù) z =f (x, y)在開區(qū)域 D上二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) , .22xyzyxz???????,xxy yeye ?? ,xxy exe ??,xxyxy ex y ee ??? .xxyxy ex y ee ???在什么條件下 兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等？ 兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)也未必一定相等 , 數(shù)運(yùn)算的次序不同， 但是由于求偏導(dǎo) 定理 則在該區(qū)域上任一點(diǎn)處必有 即：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在 連續(xù) 的條件下與求導(dǎo)的 次序 無關(guān) , 這給混合偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算帶來了方便 . 二、高階偏導(dǎo)數(shù) 問題： 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？ 解 322 ( , ) ( 0, 0 )( , )0 ( , ) ( 0, 0 )xyxyf x y xyxy???? ??? ??例 4 求 xx ?? ??0lim0.0?)0,0(xfxfxfx ??????)0,0()0,(lim0).0,0(),0,0( yxxy ff時(shí)，當(dāng) )0,0(),( ?yx),( yxf x2223222)(2)(3yxxyxyxyx?????222324)(3yxyxyx???),( yxf y2223223)(2)(yxyyxyxx?????222235)( yxyxx???yy ?? ??0li m0.0?)0,0(yfyfyfy ??????)0,0(),0(lim0問題： 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？ .1?)0,0(xyfyfyf xxy ??????)0,0(),0(lim0).0,0()0,0( yxxy ff ?顯然 ).0,0(),0,0( yxxy ff),0( yf x ,0? )0,( xf y ,x?yy ?? ??0li m0.0?)0,0(yxf x fxf yyx ??????)0,0()0,(lim0xxx ????? 0lim????????0,)(3),( 222324yxyxyxyxf x),0,0(),( ?yx),0,0(),( ?yx????????0,)(),( 222235yxyxxyxf y),0,0(),( ?yx),0,0(),( ?yx.),3s i n (),( x x y zfyzxzyxf 求??Solution. ?xf )3c o s (3 yzx ??xxf )3s in (9 yzx ???xxyf )3c o s (9 yzxz ???xxyzf )3s i n (9)3c o s (9 yzxyzyzx ????例 5 二、高階偏導(dǎo)數(shù) .),l n ()s i n (),( z y xx y z ffxyzyzxzyxf ??? 求證設(shè)Proof. xyyzyzf x ?? )s i n ( xzyz ?? )s i n()c os ( yzzf xy ?)s i n()c o s ( yzyzyzf x yz ??)l n ()c os ( xyyzxyf z ??yyzx y zyzxf zy1)s i n ()c o s ( ???)s i n()c o s ( yzyzyzf z yx ??.z y xxyz ff ??例 6 二、高階偏導(dǎo)數(shù) 例 7 驗(yàn)證函數(shù) 22ln),( yxyxu ??滿足拉普拉斯方程 .02222?????? yuxu證明 ),l n(21ln 2222 yxyx ????,22 yx xxu ????? ,22 yx yyu ????,)()( 2)( 222222222222yxxyyxxxyxxu???????????.)()( 2)( 222222222222yxyxyxyyyxyu??????????22222222222222)()( yxyxyxxyyuxu???????????? .0?例 7 驗(yàn)證函數(shù) 22ln),( yxyxu ??滿足拉普拉斯方程 .02222?????? yuxu 這是因?yàn)檫B續(xù)只保證當(dāng)點(diǎn) (x, y)以任意方式趨于點(diǎn) (x0, y0) 時(shí) , 二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系： 連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù) (x0, y0) 點(diǎn)時(shí) , ),( 00 yx0xx ?0yy?xy變化率存在 . 但不能保證點(diǎn) (x, y) 函數(shù) f (x, y) 趨于 f (x0, y0). 沿著平行坐標(biāo)軸方向趨于 (x0, y0) 時(shí) , 反之 , 偏導(dǎo)數(shù)存在 . 只能保證當(dāng) 點(diǎn) (x, y)沿著平行坐標(biāo)軸的方向趨于 f (x, y) 趨于 f (x0,y0), (x, y) 以任意方式趨于點(diǎn) (x0, y0) 時(shí) , f (x, y) 趨于 f (x0, y0). 但不能保證當(dāng)點(diǎn) 函數(shù) f (x, y)變化率存在 , 此時(shí)沿著平行坐標(biāo)軸的方向 二、高階偏導(dǎo)數(shù)
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