二元函數(shù)的極限與連續(xù)-文庫吧資料
2025-01-26 02:02本頁面
【正文】 n0),(xyxyxyyxyxf下面分兩種情況討論： ,0???)0,0(),(,0 ?? yxxy1） ?? ???? xyx :),(,0.顯然， ,??y與 .00),( ????yxf 有 例 2. ??? ???? xyx :),(,2, ,??y與 有 2） 0?xyxyyxyxf 1s i n1s i n0),( ???xyyx1sin1sin ????y x ? ? 于是， 與 且 ，有 ,0??? ??? ???? xyx :),(,2,??y)0,0(),( ?yx.0),( ???yxf即函數(shù) f(x,y)在原點 (0,0)的極限是 0. .2 ?? ??① 在例 2中，原點 (0,0)并不屬于函數(shù) f(x,y)的定義域，但是它在原點 (0,0)仍存在極限 . ② 在二重極限 的定義中，動點 (x,y)在 中趨 向于點 與一元函數(shù) y=f(x)的自變量 x在數(shù)軸上的變 化不同，它可以在區(qū)域 內(nèi)沿著不同的道路（如曲線 或直線等）和不同的方式（連續(xù)或離散等），從四面八方趨近 于點 ，二元函數(shù) f(x,y)在點 的極限都是 A. 反之，動點 P(x,y)沿著某兩條不同的曲線（或點列）無限趨近 于點 ，二元函數(shù) f(x,y)有不同的“極限”，則二元函 數(shù) f(x,y)在點 不存在極限 . Ayxfyyxx???),(lim002R),( 000 yxP2RD ?),( 000 yxP ),( 00 yx),( 000 yxP),( 000 yxP★ 注意： ① 令動點 P(x,y)沿直線 y=kx趨近于點 ，若極限值與 k 有關(guān)，則二元函數(shù) f(x,y)在點 不存在極限 . ),( 000 yxP),( 000 yxP② 找兩種不同的趨近方式，使二重極限 存在 , 但兩者不相等，則二元函數(shù) f(x,y)在點 不存在極限 . Ayxfyyxx???),(lim00),( 000 yxP確定二重極限 不存在的方法： Ayxfyyxx???),(lim00 證明：函數(shù) 在原點 (0,0)不存在極限 . ? ?)0,0(),(),( 242??? yxyxyxyxf證明： 當動點 P(x,y)沿著 x軸 (y=0)和 y軸 (x=0)無限趨近于原點 (0,0) 時，極限都是 0， 即 0),0(l i m 0 ?? yfy0)0,(l i m 0 ?? xfx 與 . 當動點 P)x,y)沿著通過原點 (0,0)的拋物線 無限趨近于原 點 (0,0)時， 2xy ? 有（將 y換成 ） 2x.21)(l i m),(l i m 22422020?????? xxxxxxf
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