函數(shù)極限與連續(xù)知識(shí)梳理(文件)
【正文】 ）對(duì)于因式中含有對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)時(shí)，一般放在分子、否則利用洛必達(dá)法則很繁，或求不出來。 再根據(jù)具體情況化成。即.而不屬于未定式，因?yàn)?。?duì)于未定式的極限，先用等價(jià)量替換或變量替換或極限的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用洛必達(dá)法則求極限。 （）=。注：本題雖然是未定式，但巧妙地用變量替換，并沒用洛必法則就直接求出了極限。 原式，由時(shí)，得原式 求.解 原式,由，得原式.例7 求.解 原式由，得原式.例10 原式.例12 原式.解法二 求.解 求.解 例18 因?yàn)?，所以洛必達(dá)法則不適用，宜改用其它方法。 原式.利用泰勒公式求函數(shù)極限2．利用泰勒公式求函數(shù)極限。3．利用夾逼定理求函數(shù)極限。 求.分析有例24 不妨設(shè)，則，任給，要使，由，只要時(shí)，都有，由定義知。這種題型考的可能性更大，因?yàn)檫@種題型更能考察考生運(yùn)用無窮小量階的比較和洛必達(dá)法則分析問題，解決問題的能力。例26 試確定常數(shù)。 ，由，知，從而，得例29故。解法一從而，得，注：求時(shí)不能用下述方法。 由，利用在處的帶有二階余項(xiàng)的佩亞諾展開式，得由例31 討論極限.解1．函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用例33 若在區(qū)間X上連續(xù)，當(dāng)為有理數(shù)，則在區(qū)間X遞增。例35故至少存在一點(diǎn)，使得。證 設(shè)。由，而，知，且由，知，知。 求極限，記此極限為，求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類型。 由于所以是第二類間斷點(diǎn)。 由于且所以是跳躍間斷點(diǎn)。 設(shè)。注：由是初等函數(shù)表達(dá)式。 因?yàn)椤?若。 .例44 原式。然而從被求的式子構(gòu)成形式，啟發(fā)我們用微分中值定理解原式。 .解原式 求.分析 設(shè)存在，證明證：由存在，知時(shí)，存在。 ， 令,于是 由于，故從而。例42 由。七、關(guān)于分段函數(shù)在分界點(diǎn)連續(xù)性的討論。 討論的間斷點(diǎn)，并指出類型。 討論的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型。 ，由于在處沒定義，而在兩側(cè)有定義，故是間斷點(diǎn)。如果是分段函數(shù)，分界點(diǎn)是間斷點(diǎn)的懷疑點(diǎn)。證 （i）當(dāng)時(shí)，由條件得是常值數(shù)列。令，得，由是上任意一點(diǎn)，故。 證明：若函數(shù)在上連續(xù)，且對(duì)任何，存在相應(yīng)的，使得。證所以在區(qū)間X是遞增函數(shù)。證取有理數(shù)列，使，由，根據(jù)歸結(jié)原則知。 取取而不存在。于是，所以判斷函數(shù)極限不存在的方法五、判斷函數(shù)極限不存在的方法。因?yàn)榇嬖?，推不出在的某空心鄰域?nèi)存在且在不知是否連續(xù)，所以。于是。 設(shè)在存在二階導(dǎo)數(shù)，且 ，求。 由題意知.由于=arcsin,所以,必有例28 ，由，知分子是分母的同階無窮小量，得有，解得。 求，求常數(shù)a, b.解至于用函數(shù)極限的單調(diào)有界定理求函數(shù)極限的可能性更小。證 .由根據(jù)夾逼定理知原式=.注：這里是的函數(shù)，是分段函數(shù)，即.4．利用定義證明函數(shù)極限的存在利用函數(shù)極限定義證明函數(shù)極限與利用數(shù)列極限定義證明數(shù)列極限存在完全類似，在這里我們就不再重復(fù)了，一般
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