【正文】 ? ?0( ) l i m ( , ) 。 n 個 實(shí)數(shù) 12, , , nx x x是這個點(diǎn)的坐標(biāo) . 設(shè) E 為 Rn 中的點(diǎn)集 , 若有某個對應(yīng)法則 f , 使 E 中每一點(diǎn) 12( , , , )nP x x x都有惟一的一個實(shí)數(shù) y 與之對應(yīng) , 則稱 f 為定義在 E 上的 n 元函數(shù) , 記作 : R ,fE ?1 2 1 2( , , , ) , ( , , , ) ,nny f x x x x x x E??也常寫成 ( ) , .y f P P E??或 對于后一種被稱為 “點(diǎn)函數(shù)” 的寫法 , 它可使多元 函數(shù)與一元函數(shù)在形式上盡量保持一致 , 以便仿照 一元函數(shù)的辦法來處理多元函數(shù)中的許多問題 。 )UM ? 中含有 E 的無限多 個點(diǎn) , 這就證得了 M0 是 E 的聚點(diǎn) . 推論 任一 有界無限點(diǎn)列 2{ } RnP ?必存在收斂子 定理 (有限覆蓋定理 ) 設(shè) 2RD ? 為一有界閉域 , {}?? ( ) .D ??即則??為一族開域 , 它覆蓋了 D {}?在 ? 12, , , ,n? ? ?中必存在有限個開域 它們 同樣覆蓋了 D, 即 { }.knP ( 證明可仿照 R 中的相應(yīng)命題去進(jìn)行 . ) 列 1.niiD???注 將本定理中的 D 改設(shè)為有界閉集 , 而將 {}??改 設(shè)為一族開集 , 此時定理結(jié)論依然成立 . ??例 3 設(shè) 試證 E 為有界閉集的充要條件 .E于是 : E 的任一無窮子集 Eq 必有聚點(diǎn) , 且聚點(diǎn)恒屬 qE? qE證 (必要性 ) E 有界 有界 , 由聚點(diǎn)定理 , qE必有聚點(diǎn) . 又因 的聚點(diǎn)亦為 E 的聚點(diǎn) , 而 E 是 閉集 , 所以該聚點(diǎn)必屬于 E ． (充分性 ) 先證 E 為有界集 . 倘若 E 為無界集 , 則 存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列 { } ,kPE? 使得| | ( , ) , 1 , 2 , .kkP O P k k?? ? ?易見 {}kP 這個子集無聚點(diǎn) , 這與已知條件相矛盾 . 再證 E 為閉集 . 為此設(shè) P0 為 E 的任一聚點(diǎn) , 由聚 點(diǎn)的等價定義 , 存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列 使 { } ,kPE?0li m .kk PP?? ?{}kP qE qE 0P現(xiàn)把 看作 , 由條件 的聚點(diǎn) ( 即 ) 必 屬 于 E, 所以 E 為閉集 . 三、二元函數(shù) ※ 函數(shù) (或映射 )是兩個集合之間的一種確定的對 應(yīng)關(guān)系 . R 到 R 的映射是一元函數(shù) , R2 到 R 的映 射則是二元函數(shù) . 定義 2 設(shè)平面點(diǎn)集 , 若按照某對應(yīng)法則 f , 2RD ?D 中每一點(diǎn) P ( x, y ) 都有惟一確定的實(shí)數(shù) z 與之 對應(yīng) , 則稱 f 為定義在 D 上的二元函數(shù) ( 或稱 f 為 D 到 R 的一個映射 ), 記作 : R . ( 7 )fD ?也記作 ( , ) , ( , ) 。n n nn n nP P x x y y且? ? ? ? ? ?? ? ? ?0( , ) ,nn PP??若記 ?同樣地有 0li m li m ?? ? ? ?? ? ?由于點(diǎn)列極限的這兩種等價形式都是數(shù)列極限 , 因 此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理 . 定理 (柯西準(zhǔn)則 ) 2{ } RnP ?收斂的充要條件是 : 0 , N , ,N n N? 使當(dāng) 時 都有?? ? ? ? ?( , ) , N . ( 6 )n n pP P p?? ??? ? ?證（必要性） 0l i m , 1 , 0,nn PP ?設(shè) 則由定義?? ? ? ?N , ( )N n N n p N當(dāng) 也有 時, 恒有?? ? ? ? ?00( , ) , ( , ) .22n n pP P P P???????應(yīng)用三角形不等式 , 立刻得到 00( , ) ( , ) ( , ) .n n p n n pP P P P P P? ? ? ???? ? ?(充分性 ) 當(dāng) (6) 式成立時 , 同時有 | | ( , ) ,n p n n n px x P P????? ? ?| | ( , ) .n p n n n py y P P? ? ?這說明 { xn } 和 { yn } 都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則 , 所以它們都收斂 . 00l i m , l i m ,nnnnx x y y設(shè) 從而? ? ? ???由點(diǎn)列收斂概念 , 推知 { Pn } 收斂于點(diǎn) P0(x0, y0). ※ 下述區(qū)域套定理 , 是區(qū)間套定理在 R2 上的推廣 . 定理 (閉域套定理 ) 設(shè) { Dn } 是 R2 中的一列閉 域 , 它滿足： 1( i) , 1 , 2 , 。 而閉集不一定為閉域 . 開域 ——若非空開集 E 具有連通性 , 即 E 中任意兩 點(diǎn)之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接 , ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??2R ( , ) | ,x y x y? ?? ? ?2 2 2( , )C x y x y r? ?? ? ? ? ?( , ) ,S x y a x b c y d? ?? ? ? ?22( , ) 1 4D x y x y是閉域 , 既是開域又是閉域 , 是區(qū)域 (但既不是開域又不是閉域 ). 是開域 , ? ???( , ) | 0G x y x y它是 I、 III 兩象限之并集 . 雖然它是開集 , 但因 不具有連通性 , 所以它既不是開域 , 也不是區(qū)域 . 0,r??有界點(diǎn)集 ——對于平面點(diǎn)集 E, 若 使得 ( 。 并有 d , in t , .E E E E? ? ? ? ? ?※ 一些重要的平面點(diǎn)集 根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì) , 可來定義一 些重要的點(diǎn)集 . 開集 —— 若 E 所屬的每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn) ( 即 E = int E ), 則稱 E 為開集 . ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??2R ( , ) | ,x y x y? ?? ? ?2 2 2( , ) 。EE ?或 dEE作 又稱 為 E 的 閉包 , 記作 .E例如 , 對于例 1 中的點(diǎn)集 D, 它的導(dǎo)集與閉包同為 ? ?d 2 2( , ) 1 4 .D x y x y D? ? ? ? ?其中滿足 22 4xy?? 的那些聚點(diǎn)不屬于 D, 而其余 所有聚點(diǎn)都屬于 D. (ii) 孤立點(diǎn) —— 若點(diǎn) AE? , 但不是 E 的聚點(diǎn)（即 有 某 δ 0, 使得 ( 。 E 的外點(diǎn)必定不屬于 E。 ) ,U A E??? ? ? ?使則稱 點(diǎn) A 是 E 的外點(diǎn)；由 E 的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合 c( 。 )UA ? ()UA點(diǎn) A 的 空心鄰域 是指 : ? ?2 2 200( , ) 0 ( ) ( ) ( )x y x x y y ? 圓? ? ? ? ?? ?0 0 0 0( , ) | | , | | , ( , ) ( , ) ( ) ,x y x x y y x y x y??? ? ? ? ? 方或 并用記號 (。 Chapt 16 多元函數(shù)的極限與連續(xù) 教學(xué)目標(biāo)： 。 1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) 一、平面點(diǎn)集 平面點(diǎn)集的一些基本概念 由于二元函數(shù)的定 坐標(biāo)平面上滿足某種條件 P 的點(diǎn)的集合 , 稱為平 ? ?( , ) ( , ) .E x y x y P滿足條件?對 與平面上所有點(diǎn)之間建立起了一一對應(yīng) . ( , )xy在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后 , 所有有序?qū)崝?shù) 義域是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集 , 因此在討論二元函數(shù) 之前，有必要先了解平面點(diǎn)集的一些基本概念 . 面點(diǎn)集 , 記作 例如： ( i) 全平面:? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??2R ( , ) | , . ( 1 )x y x y? ?2 2 2( ii ) ( , ) .C x y x y r圓: ? ? ?(2) ? ?? ? ? ? ?( i i i ) ( , ) , ,S x y a x b c y d矩形: (3) 00( iv ) ( , ) : A x y ?點(diǎn) 的 鄰域? ?00( , ) | | , | | ( )x y x x y y??與 方形 .? ? ? ???[ , ] [ , ] .S a b c d也常記作：? ?? ? ? ?2 2 200( , ) ( ) ( ) ( )x y x x y y ? 圓形圖 16 – 1 C Sx xy yO O a bcdr(a) 圓 C (b) 矩形 S ? ?A A? ?圖 16 – 2 x xy yO O(a) 圓鄰域 (b) 方鄰域 由于點(diǎn) A 的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn) A 的某一 方鄰域之內(nèi) (反之亦然 ), 因此通常用“點(diǎn) A 的 鄰 ?用記號 或 來表示 . ( 。 ) ,U A E??? ? ?使則稱點(diǎn) A E 的 內(nèi)部 , 記作 int E. 錯在何處 ? ) (ii) 外點(diǎn) ——若 0 , ( 。 由 E .E?的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的 邊界 , 記作 注 E 的內(nèi)點(diǎn)必定屬于 E。 滿足 的一切點(diǎn)是 D 的界點(diǎn) , 它們都屬 2214xy? ? ?滿足 的一切點(diǎn)都 是 D 的界點(diǎn) , 但它們都不屬于 D. 點(diǎn) A 與點(diǎn)集 E 的上述關(guān)系是按 “內(nèi) 外” 來區(qū)分的 . 此外，還可按 “疏 密” 來區(qū)分，即在點(diǎn) A 的近旁 是否密集著 E 中無窮多個點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系 : (i) 聚點(diǎn) —— 若在點(diǎn) A 的任何空心鄰域 ()UA內(nèi)都 含有 E 中的點(diǎn)，則稱點(diǎn) A 是點(diǎn)集 E 的聚點(diǎn)． 注 1 聚點(diǎn)本身可能屬于 E，也可能不屬于 E. 注 2 聚點(diǎn)的上述定義等同于 : ―在點(diǎn) A 的任何鄰域 ()UA 內(nèi)都含有 E 中的無窮多個點(diǎn)” . 注 3 E 的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的導(dǎo)集 , 記 d ( ) 。 既非聚點(diǎn) , 又非孤立點(diǎn) , 則必為外點(diǎn) . 例 2 設(shè)點(diǎn)集 ? ?( , ) , .E p q p q 為任意整數(shù)? 顯然 , E 中所有點(diǎn) ( p, q ) 全為 E 的孤立點(diǎn) 。D x y x y 既 非 開 集 又 非 閉 集 既是開集又是閉集 . 平面點(diǎn)集中 , 只有 R2 與 ? 是既開又閉的 . E 為閉集 . 閉集 ——若 E 的所有聚點(diǎn)都屬于 E ( ) ,EE?即 則 稱 E 為閉集 . 若 E 沒有聚點(diǎn) d( ) ,E ??即 這時也稱 則稱 E 為開域 . 簡單地說 , 開域就是非空連通開集 . 閉域 —— 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域 . 區(qū)域 —— 開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所 成的集合 , 統(tǒng)稱為區(qū)域 . 不難證明 : 閉域必為閉集 。 ) ,nN n N P U P??若 使當(dāng) 時? ? ? ? ? ??則稱點(diǎn)列 { Pn } 收斂于點(diǎn) P0 , 記作 00li m ( ) .nnn P P P P n?? ? ? ? ?或0 0 0( , ) ( , ) ,n n nP P x y x y當(dāng) 與 分別為 與 時 顯然有0 0 0li m li m li m 。 ) .nD U M ?? 又由 Dn 的取法 , 知道 0( 。 全體函數(shù)值的集合為 f 的 值域 , 記作 . 通常把 P 的坐標(biāo) x 與 y 稱 ( ) RfD ?為 f 的自變量 , 而把 z 稱為因變量 . 當(dāng)把 和它所對應(yīng)的 一起組成 ( , )x y D? ( , )z f x y?三維數(shù)組 ( x, y, z ) 時 , 三維點(diǎn)集 ? ? 3( , , ) | ( , ) , ( , ) RS