【正文】 沿直線逐漸減少到 0. 圖 20lim ( 1) 1x x?? ??0lim 0x x?? ?00lim ( ) lim ( )xxf x f x???? ?0lim ( )x fx?? 不 存 在規(guī)定： 0xx ?表示 x從左右兩側(cè)無限靠近 0x?? 0xx 表示 x從右側(cè)無限靠近 0x?? 0xx 表示 x從左側(cè)無限靠近 0x定義 3 如果 x從左右兩側(cè)無限靠近 0x時，函數(shù) f(x)的函 數(shù)值都無限接近一個確定的數(shù) A，記為 0lim ( )xx f x A? ?或 )()( 0xxAxf ??)(lim0xfxx ?? 稱為函數(shù) ()fx 在 0x 處的左極限 )(lim0xfxx ??稱為函數(shù) ()fx 在 處的左極限 0x定理 函數(shù) ()fx在 0x處的極限存在的充分必要條件 ()fx在 0x處的左右極限存在且相等，即 AxfxfAxf xxxxxx ???? ?? ??? )(l i m)(l i m)(l i m000注 ：（ 1）從 )(lim0xfxx ?? 與 )(lim0xfxx ??是否相等判斷函數(shù)在 0xx ? 時的極限是否存在 . （ 2）函數(shù)在 0xx ?時的極限與函數(shù)在 0x點是否 有定義無關(guān)，也與函數(shù)在 0x點的函數(shù)值無關(guān) . 進一步練習 練習 3 函數(shù) ? ????????????000101xxxxxxf ，求當 0?x時 )(xf 的極限。 0lim ???? xx e，則函數(shù) xex ?)(? 為 ???x 時的無窮小 0s i ns i nl i m ??? ?? xx ，則函數(shù) xx s in)( ?? 為 ??x時的無窮小 注 ：（ 1） 不能單獨說某個函數(shù)是無窮小，無窮小 與自變量的某個變化過程是聯(lián)系在一起的 . （ 2） 無窮小量是極限為零的變量，任何絕對值 很小的常數(shù)都不是無窮小，常數(shù)中只有 0是無窮小 . 極限與無窮小量的關(guān)系 定理 0lim ( )xx f x A? ? 的充要條件是 Axxf ?? )()( ? ，其中 0)(lim0?? xxx ?無窮小量還有以下性質(zhì)： 性質(zhì) 有限個無窮小的和（差）仍是無窮小 . 性質(zhì) 2 無窮小與有界變量的乘積仍是無窮小 . 推論 1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 性質(zhì) 3 有限個無窮小的乘積是無窮小 . 注 ： 無窮個無窮小量的和不一定是無窮小 無窮小與無窮小的商不一定是無窮小 無窮多個無窮小的和不一定是無窮小舉例： 1 1 1 11. lim ( )n n n n n??? ? ? ?1 1 1 12. lim ( )n n n n n??? ? ? ?1lim lim 1 1nnn n? ? ? ?? ? ?1lim limnnnnn? ? ? ??? ??2 2 2 21 1 1 13. lim ( )n n n n n??? ? ? ?211lim limnnnnn? ? ? ??? 0?無窮小量的商 設(shè)在自變量的某一變化過程中， ? 與 ? 都是無窮小，且 c???lim（ c為常數(shù)） （ 1）若 c =0，則稱 ? 是比 ? 高階的無窮小，記為 ()? ? ??（ 2）若 0?c 則稱 ?是與 ? 同階的無窮小，特別 c=1 時， 則稱 ? 是與 ? 是等價的無窮小，記為 ??～ 二、無窮大量 在自變量的某個變化過程中，函數(shù) ()fx的絕對值 )( xf無限增大，則稱 ()fx 為這個變化過程中的 無窮大量 。 定理 在相同的變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，恒不等于零的無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。 進一步練習： 練習 1 討論分段函數(shù) ????????0,00,1s in)(2xxxxxf 在分段點 x = 0 處的連續(xù)性。 學習步驟二 函數(shù)的間斷點 根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性可知，若函數(shù) )(xf 在點 0x處呈下述 三種情形之一： （ 1） )(xf 在 0x點處沒有定義 （ 2） )(xf 在 0x點處有定義，但 )(lim0xfxx?不存在。 練習 2 討論 ?????????1,1310,1)( 2xxxxxf 在點 x = 1處的連續(xù)性 解 ? 2)1( ?f2)1(l i m)(l i m 211 ??? ?? ?? xxf xx2)13(lim)(lim 11 ??? ?? ?? xxf xx)1(2)(lim1 fxfx ??? ?所以該分段函數(shù)在分段點 x = 1處是連續(xù)的。 23123lim22xxxxx????? 1( 3)( 1)lim2 ( 1)( 1)xxxx x x??????144)1(2 )3(l i m)1)(1(2 )1)(3(l i m 11 ??????? ??? ?? xxxxxx xx xx注：對于 00型的未定式極限，思路總是通過消去 零因式，從而運用商的極限運算法則求解 練習 4 求 22369l i m23xxxxx????? 0()0解： 22369lim23xxxxx?????23( 3 )lim( 1 )( 3 )xxxx?????練習 5求 解： 3( 3 )lim 0( 1)xxx?????22323lim69xxxxx?????22369lim23xxxxx???? ????22369lim 023xxxxx??? ???一般地有 0000000000()( ) l i m ( ) 0()l i m ( ) 0()l i m ( ) l i m( ) l i m ( ) 0l i m ( ) 0l i m ( ) 0xxxxx x x xxxxxxxPxF x Q xQxxPxFxQ x xxx?????????????? ???? ???????，Ｐ ，Ｑ ＝ ，Ｐ ＝ ，約 去 零 因 子 計 算Ｑ ＝ ，練習 5 求 ????????? 0011l i m220 xxx解 【 運用平方差公式，分解出趨向于零的因式，約 去后再求極限 】 22011limxxx???? ?? ?? ?220 221 1 1 1lim11xxxxx?? ? ? ????2011lim211x x?????? ?20 22li m11xxxx? ??＝一般地，設(shè) 0,0 00 ?? ba ， m, n為正整數(shù)，則有 00101101, 0 , l i m, nnnmmxmanmba x a x anmb x b x bnm????????? ? ?? ????? ?? ? ?? ?? ??????練習 6 求 534 123lim 22 ?? ???? xxxxx()??解 【 ??x 時，分子分母都趨向與無窮，為 ??型，分子分母同除以分子分母的最高次冪 】 534123lim22?????? xxxxx22213l i m354xxxxx???????22213 l i m l i m335 44 l i m l i mxxxxxxxx? ? ? ?? ? ? ???????2 21.lim 4 3 5xxxxx??????３練 習 ７23231 2 1l i m 0354xx x xxx????????24 3 5lim21xxxxx??????３練 習 ８ ： 的 極 限2 21lim 4 3 5xxxxx??????３解 ： ＝ ０24 3 5lim21xxxxx????????３＝? ?????????? ???? xxx 1 11 3l i m 31練習 9 求 解 【 該極限為 ??? 型，先通過通分化為 00??型，再求極限 】 ?????? ???? xxx 1 11 3lim 31 2 313 ( 1)lim1xxxx?? ? ???2312lim1xxxx?????21(2 )(1 )lim(1 )( 1)xxxx x x????? ? ? 2123lim 113xxxx??? ? ???練習 10 求 ? ?? ?22limx x x x x?? ? ? ? ???? ?22limx x x x x?? ? ? ?解 ：? ?? ?? ?2 2 2 222l i mxx x x x x x x xx x x x??? ? ? ? ???＋＝＋? ?? ?2222( ) (l i mxx x x xx x x x??? ? ???）＝＋ ? ?22l i mxxx x x x?? ??２＝＋l i m 11111xxx???????????２＝＋練習 11 求 xxxs inlim??解： 當 x?? 時 ? 分子及分母的極限都不存在 ? 故 關(guān)于商的極限的運算法則不能應(yīng)用 ? 因為 xxx x s i n1s i n ?? ? 是無窮小與有界函數(shù)的乘積 ? 所以 0s inlim ??? xxx任務(wù)四 兩個重要極限 學習步驟一 兩個重要極限公式 1si nlim0 ?? x xx （第一個重要極限公式） 注： (1) 式中的變量使用什么字母并不重要，只要它 們是相同的無窮小即可，我們可以形象地把極限式寫成 0s i nl i m?(2) 對于不滿足重要極限的式子可以通過添一些 項使之滿足式子從而求解 sinlimxxx?０３練 習 ２ .求 ： sinlimxxx?０３＝ ３ ＝ ３３sin sinlim limxxxxxx??０ ０３ ３解 ： ＝ ３３ta nlimxxx?０練 習 3. tan sin 1lim lim 1cosxxxxx x x?? ?０ ０解 ： ＝lim sinxxx?０練 習 １ .求 ：lim lims ins inxxxxxx??０ ０１解 ： ＝ ＝ １進一步練習： 練習４ 求極限 xxx 7sin5sinlim0?解 : xxx 7sin5sinlim0?00s in 5 s in 55 5555lim lims in 7 s in 777777xxxxxxxxxxxx??? ? ?練習５ 求極限 20c o s1limxxx??解 20c o s1limxxx??214122s i nl i m22s i n2l i m20220?????????????????? xxxxxx練習６ 求極限 82)4s in (lim24