第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)(文件)
【正文】 偏導(dǎo)數(shù)，且，內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿，則方程在點(diǎn) 的某一鄰域在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具 足條件，并有隱函數(shù)存在定理 2 ：設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，則方程在點(diǎn) 的某在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)，并有㈡、方程組的情況 隱函數(shù)存在定理 3 ：設(shè) 某一鄰域內(nèi)、在點(diǎn) 的具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且，偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）：在點(diǎn) 點(diǎn) 不等于零，則方程組，在的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它們滿足條件，并有，五、方向?qū)?shù)、梯度 ㈠、方向?qū)?shù) 定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某一鄰域 內(nèi)有定義，自點(diǎn) P 引射線。、定理：如果函數(shù) 在點(diǎn) 是可微分的，那么函數(shù)，在該點(diǎn)沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在，且有 其中 為 x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角。設(shè)函數(shù) 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)，這個(gè)向量稱為函數(shù)六、多元函數(shù)的泰勒公式、極值和幾何應(yīng)用 ㈠、二元函數(shù)的泰勒公式 定理：設(shè) 的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到階在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連，都可定出一個(gè)向量在點(diǎn) 的梯度，即 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有一般地，記號(hào) 表示設(shè)，則上式可表示為⑴，公式⑴稱為二元函數(shù)在點(diǎn)的n階泰勒公式，而的表達(dá)式為拉格朗日型余項(xiàng)。切線的方向向量成為曲線的切向量。x174。x（1）lim(x+y)x174。0；（3）lim(x+y)sinx174。0x+yy174。x185。2y174。|x2|+45，|3x+2y14|=|3x12+2y2|163。（1）f(x,y)=xy； x+yxyxylimli=1，limlim=1y174。0x+y二重極限不存在。0x+y3y=xy=2x(2)f(x,y)=(x+y)sin11sin； xy0163。0y174。111，y174。同理limy174。0x+xy=x當(dāng) P(x, y)沿著y=x+x趨于（0,0）時(shí)有y=x+xx3+(x3x2)3limf(x,y)=li2=1，x174。0所以 limf(x,y)不存在；limlimf(x,y)=0，limlimf(x,y)=0。0x174。0y174。0y174。02x2y2；(x2+y2)20163。0+44y174。(0,0)=1。lim2222x174。0x2+y2（3）lim(x+y)sinx174。0y174。0sin(x2+y2)（4）lim。(0,0)時(shí)，r174。0rx+yy174。x239。證明：顯然f(x, y)的定義域是xy185。0時(shí)0ln(1+xy)236。238。0=11xy不妨設(shè)|ln1(+xy)從而e0，取d=xy1|1，|ln1(+xy)|2，當(dāng)0|x|d,0|y|d時(shí)，eln(1+xy)0|=|yln(1+xy)xy||x163。0y174。0時(shí)，|f(x,y)f(0,)|=|yln(1+xy)1xy|1(+xy)=|y(ln1)+(y)| 1|+|y|163。=1，于是，無論x=0,x185。即 f(x, y)在在(0,)處連續(xù)，綜上，f(x, y)在其定義域上連續(xù)。0時(shí)lim|f(x,y)f(0,)|=0，x174。0時(shí)limln1(+xy)x174。（185。2|y|e，于是，無論x=0,x185。0y174。1f(x,y)==237。以下分兩種情況討論。x185。239。22x174。0x+yy174。2x174。0；22x+y|163。01+x+y1+x+y1xy174。0y174。0y174。|ln(x2+y2)|，22(x2+y2)2tln(x2+y2)=limlnt=0，又 limx174。0xx（1）lim(x+y)x174。x174。|ysin|163。0y174。0x+x3x223x174。0x1yx3+y3(3)f(x,y)=2；x+y2x3limf(x,y)=lim=0，x174。0y174。0y174。|x|+|y|xy可以證明lim(|x|+|y|)=0所以limf(x,y)=0。x174。0x+yx174。(2,1)，有|3x+2y14|e，即證。2,y174。:lim(3x+2y)=14。x239。01； 22x+ysin(x2+y2)（4）lim。022x2y2；（2）limx2+y2+x+y122x174。1（0,0）處的兩個(gè)累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。⑵通過點(diǎn) M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點(diǎn) M 處的法平面，它是通過點(diǎn)而與 T 為法向量的平面，因此方程為。㈢、幾何應(yīng)用、空間曲線的切線和法平面： ⑴設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為 在曲線上取相應(yīng)于 的一點(diǎn)，這里假設(shè) 解析幾何中有，假設(shè)三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn) M 處的切線方程為均不為零。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)最大值，也就是說，梯度的方向是函數(shù)在該點(diǎn)增長最快的方向，因此，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。我們考慮函數(shù)的增量 的比與 和 兩點(diǎn)間的距離值。㈡復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) : 設(shè) 則是可微，函數(shù)，對(duì)，并且，的復(fù)合函數(shù)。三、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ㈠復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù) 函數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)，且及都在點(diǎn) 可導(dǎo)。定理2（充分條件）：如果函數(shù)續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。（即二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)。在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，都是，⒊高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)，那么在 D 內(nèi) 的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。在實(shí)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變動(dòng)，另一個(gè)自變量是看作固定的，所以求 時(shí)只要將暫時(shí)看作常量而對(duì) 求導(dǎo)數(shù)；求 時(shí)，則只要將 暫時(shí)看作常量而對(duì) 求導(dǎo)數(shù)。如果連續(xù)。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。由此變量，為因變量，數(shù)集也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。2y174。0y174。y174。limf(x，y)249。0y174。([1]P124 E4)0 , (x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , : 全增量、(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :定義
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