【正文】 定義：設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn) P（x，y）∈ D，變量 按照一定法則總有確定的值與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng) 是變量 x、y 的二元函數(shù)（或點(diǎn) P 的函數(shù)），記為（或），點(diǎn)集 D 為該函數(shù)的定義域，x、y 為自為該函數(shù)值域。㈡二元函數(shù)的極限⒈設(shè)函數(shù) f（x,y）在開(kāi)區(qū)域（或閉區(qū)域）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對(duì)于適合不等式，都有 的一切點(diǎn)是球心在原點(diǎn)，半徑為 1 的上半球成立，則稱(chēng)常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng)或 , 這里 時(shí)的極限，記作。㈢多元函數(shù)的連續(xù)性 ．定義：設(shè)函數(shù) f（x，y）在開(kāi)區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且。二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分 ㈠偏導(dǎo)數(shù)⒈偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量存在，則稱(chēng)此極限為處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)，記作，當(dāng) 固定 在而 在處有增量，如果函數(shù)或 類(lèi)似，函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作際中求，或。同樣，偏導(dǎo)數(shù) 截得的曲線(xiàn)在點(diǎn) 的切線(xiàn)處，就是這曲線(xiàn)在點(diǎn) 處的切線(xiàn) 的幾何意義是曲面被平面 所對(duì) 軸的斜率。定理：如果函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。定理 1（必要條件）：如果函數(shù) 函數(shù)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 的全微分為 在點(diǎn)可微分，則該必定存在，且函數(shù)。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。上述定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。設(shè)軸正向到射線(xiàn) 的轉(zhuǎn)角為 , 并設(shè)為 上的另一點(diǎn)，且。上述定義也可推廣到三元函數(shù) 著方向（設(shè)方向 的方向角為，其中，它在空間一點(diǎn)沿）的方向?qū)?shù)可以定義為，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 的方向?qū)?shù)為㈡、梯度、定義(二元函數(shù)的情形)：設(shè)函數(shù) 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)量，這個(gè)向量稱(chēng)為函數(shù)，即，在點(diǎn)在平面區(qū)域 D，都可定出一個(gè)向的梯度，記作，由梯度的定義可知，梯度的模為： 當(dāng) 不為零時(shí)，x 軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 與方向?qū)?shù)的關(guān)系：如果設(shè)是與方向 同方向的單位向量，則由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式可知：由此可知，就是梯度在 上的投影，當(dāng)方向 與梯度的方向一致時(shí)，有，從而 有最大值。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，則⑴式成為 n 階麥克勞林㈡、多元函數(shù)的極值 定理 1（必要條件）：設(shè)函數(shù) 數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)（,）具有偏導(dǎo)(,)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：定理 2（充分條件）: 設(shè)函數(shù) 內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又)=A,(,)=B,(,)=C, 則 f(x,y)在（,）處是否取得極值的條件如下：，令(,，在點(diǎn)（,）的某鄰域⑴ AC0 時(shí)具有極值，且當(dāng) A0 時(shí)有極小值；⑵ AC⑶ AC=0 時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。向量就是曲線(xiàn) 在點(diǎn) M 處的一個(gè)切向量。2y174。0y174。0y174。0ln(1+xy)(x,y)=237。0x=0在其定義域上是連續(xù)的。1因?yàn)閤174。3|x2||x+2|+2|y1|15|x2|+2|y1|15[|x2|+|y1|]e0，要使不等式|3x+2y14|15[|x2|+|y1|]e成立 取d=min{e30,1}，于是e0，$d=min{e30,1}0，(x,y)：|x2|d,|y1|d且(x,y)185。0x174。xyxy1或lim=0，li=。|(x+y)sinsin|163。0x174。0時(shí)，f(x,y)=(x+y)sinsin極限不存在，kpxy因此limlim(x+y)sisi不存在，x174。0x174。0x174。x174。0(4)f(x,y)=ysinx0163。0limlimysi=0，limlimysi不存在。0x174。|xyln(x+y)|163。0∴l(xiāng)im(x+y)x174。（2）limx2+y2+x+y1x174。0174。0y174。0故lim(x+y)si2=0。22x174。0，sin(x2+y2)sinr2lim=lim2=1。0ln(1+xy)236。y238。0時(shí)，f(x, y)是連續(xù)的，只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點(diǎn)上連續(xù)。239。yln(1+xy)由于limln1(+xy)x174。|y||ln(1+xy)|163。01xy（2）在(0,)處。|y||ln(1+xy)xy當(dāng)x=0時(shí),|f(x,y)f(0,)|=|y|,1xy注意到，當(dāng)185。0，當(dāng)185。0y174。0y174。0)xy當(dāng)x185。0，當(dāng)|x|d,|y|d時(shí)，都有l(wèi)imf(x,y)=0=f(0,0)x174。01xyy=0,y185。xyx239。（1）在原點(diǎn)（0,0）處f(0, 0)=0,當(dāng)x185。0x=0在其定義域上是連續(xù)的。(x,y)=237。0r174。0令x=rcosq，y=rsinq，(x,y)174。0x+yy174。|x+y|，|(x+y)sin2x+y而lim(x+y)=0x174。0y174。0；(x2+y2)(+x2+y2+1)=lim=2。02x2y2=elimx2y2ln(x2+y2)(x,y)174。0t174。0y174。0y174。|y|x∴l(xiāng)imf(x,y)=0，x174。0y174。0y174。0x174。0xylim(x+y)sisi不存在。0當(dāng)x185。x174。0x+yx174。0y174。（0,0）處的兩個(gè)累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。1，不妨設(shè)|x2|0,|y1|0，有|x+2|=|x2+4|163。x174。y238。22x174。0y174。（1）f(x,y)=xy； x+y(2)f(x,y)=(x+y)sisi； 1x1yx3+y3(3)f(x,y)=2； x+y1(4)f(x,y)=ysi。⑶若空間曲線(xiàn) 的方程以 為： 的形式給出 , 則切線(xiàn)方程，其中分母中帶下標(biāo) 0 的行列式表示行列式在點(diǎn) 的值；曲線(xiàn)在點(diǎn)處的法平面方程為 的值；曲線(xiàn)在點(diǎn) 處的法平面方程為、曲面的切平面和法線(xiàn) ⑴若曲面方程為 M 處的切平面的方程為：；，是曲面上一點(diǎn)，則曲面在點(diǎn)法線(xiàn)方程為： ⑵若曲面方程為，則切平面方程為或 ；而法線(xiàn)方程為第五篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題:lim(3x+2y)=14。如果有個(gè)別為零，則應(yīng)按空間關(guān)直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程來(lái)理解?！鲜鏊v的梯度的概念也可推廣到三元函數(shù)的情況。當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱(chēng)這極限為函數(shù) 在點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)，記作，即。如果 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 復(fù)合函數(shù)對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且㈢全微分形式的不變性 : 設(shè)函數(shù) 則有全微分 果、又是，如 的函數(shù)、具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合 函數(shù) 的全微分為由此可見(jiàn)，無(wú)論 是自變量、的函數(shù)或中間變量、的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性。通常將二元函數(shù)的全微具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 連以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件，可以完全類(lèi)似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)。）㈡全微分⒈全微分定義：如果函數(shù)可表示為賴(lài)于、而僅與、有關(guān)，在點(diǎn)可微分，而稱(chēng)在點(diǎn) 的全增量，其中 A、B 不依，則稱(chēng)函數(shù)為函數(shù)在點(diǎn) 的全微分，記作，即。按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有以下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)： ,。偏導(dǎo)數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注