用向量可以證明不等式(編輯修改稿)
2024-11-04 12:20 本頁面
【文章內容簡介】 成1此題不只是公式的直接應用．代表了均值不等式中需要挖掘信L、an 的一類題． 息找aa例2設x+y+z=0，求證：6(x3+y3+z3)2163。(x2+y2+z2)3． 證明當x=y=z=0時不等式顯然成立．除此情況外，x、y、z中至少有一正一負．不妨設xy0，因為z=(x+y)，所以I=6(x+y+z)=6[x+y(x+y)]=6[3xy(x+y)]=54xyz．若由此直接用G(a)163。A(a)(n=3)，只能得到較粗糙的不等式I=54xyz163。54（x+y+z2)=2(x+y+z)，32223如果改用下面的方法，用G(a)163。A(a)，便得I=54xyz222=216xy2xy2z230。xy246。xy2231。++z247。247。=(2z2+2xy)3，163。216231。231。247。3231。247。232。248。再注意到x2+y2=(x+y)22xy=z2+2xy，因而2z2+2xy=x2+y2+z2，于是即得欲證的不等式．此題解題的關鍵在于構造aaL、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的?？碱愵}． 例3設x0，證明：2x+2x179。22x．(第16屆全蘇數(shù)學競賽試題[2])證明此不等式的外形有點像均值不等式． 由G(a)163。A(a)，得x+2xx+2x179。22x2x=22，又x+2x1111179。(x12x4)2=x6，即得要證的不等式．結語有些不等式則可以利用某個已經證明成立的不等式來證明(因此多熟悉幾個比較常見的不等式是有好處的)；有些不等式還要用數(shù)學歸納法來證明等等．而且在一個題目的證明過程中，也往往不止應用一種方法，而需要靈活運用各種方法．因此，要培養(yǎng)和提高自己的證題能力。參考文獻[1]陳傳理等編．數(shù)學競賽教程 [M]．北京：高等教育出版設，1996，(10)：133134．[2]常庚哲等編．高中數(shù)學競賽輔導講座[M]．上海：上?？茖W技術出版社，1987．3849第五篇：不等式用綜合法證明不等式不等式用綜合法證明不等式教學目標1．掌握兩個或三個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一重要定理，并能運用它們證明一些不等式．2．了解綜合法的意義．3．通過對定理及其推論的推導、證明、應用，培養(yǎng)學生運用綜合法進行推理論證的能力．教學重點和難點用綜合法證明定理及推論的教學． 教學過程設計（一）新課引入師：我們已學過用比較法（求差、求商）證明不等式，它是一種最基本、最常用的方法．請完成以下練習．1．證明：x2＋2＞2x（x為實數(shù)）．2．請問：x2＋1與2x的大小關系是什么？并證明你的結論．（教師巡視學生的解題情況，請學生將不同的解法板演到黑板上）1．證法1：由（x2+2）2x=（x1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．證法2：由（x1）2≥0，知（x1）2+1≥1＞0，即x22x＋2＞0，則x2＋2＞2x．師：兩位同學的證明都正確，他們都是根據(jù)a2≥0（a≥R）．在證法上有區(qū)別嗎？請大家思考．2．答：x2＋1≥2x．證法1：由（x2＋1）2x=x22x＋1=（x1）2≥0，知x2+1≥2x． 證法2：由（x1）2≥0，① 知x22x＋1≥0，則x2+1≥2x． ② 師：同學們得到的結論幾乎是一致的，是x2+1≥2x．主要證法已列在黑板上，請大家思考：這些證明是否正確？所采用的方法是什么？生：都正確．證法一是求差比較法，證法二是??師：一時答不出也沒關系，證法一用的是求差比較法，至于證法二，我們不妨先問問寫出證法二的同學是怎么想出來的．生：我一看到是兩個“平方項”與它們的兩倍“交叉項”比大小，就首先想到了平方公式，這個完全平方一定是非負的；然后再根據(jù)不等式性質，就得到了結論；最后就按這個思路進行的證明．師：他是從已經成立的事實出發(fā)，經過正確推理，得到要證的結論．也就是說他是以公式①為基礎，運用不等式的性質推出②式，這種利用某些已經證明過的不等式作為基礎，再運用不等式的性質推導出所要求證的不等式的方法通常叫做綜合法．對于綜合法大家并不陌生，初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的． 今天我們一起研究如何用綜合法證明不等式（板書課題）．（二）用綜合法證明不等式 1．綜合法師：我們已經知道用綜合法證明需要一些已經證明過的不等式作為基礎，因此我們應先證明出
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