單調性證明不等式(編輯修改稿)
2024-10-30 23:20 本頁面
【文章內容簡介】 x)dxb242。af(x)dx baa同理有 242。abf(x)dx163。242。f(a)dx=(ba)f(a)（2）ab由（1）（2）得：a242。1a0f(x)dx179。f(a)179。1ba242。af(x)dx（3）b將（3）式兩邊同乘以a(ba)，有 bbab242。a0f(x)dx179。ab242。af(x)dx 242。af(x)dx bbabaa1，所以242。f(x)dx因為0bb例2試證：242。1cosxx20179。：不等式兩邊的積分是瑕積分。在兩邊的積分中分別作變換t=arccosx與p0p0t=arcsinx，原不等式可化為242。cos(sint)dt179。242。2sin(cost)dt，欲證不等式，只需證明cos(sint)179。sin(cost)，t206。(0,)，而cos(sint)=sin(sint)179。sin(cost)。22ppppppp因為t206。(0,)時，0cost，0sint，而函數y=sinx在(0,)上嚴格單調22222pppp遞增，于是只要證明 當t206。(0,)時，有cost163。sint或cost+sint163。當t206。(0,)時，2222ppcost+sint=2sin(t+)163。2，于是問題得證。（證略）42利用輔助函數的單調性證明方法根據變微積分學基本定理和可導函數的一階導數符號與單調性關系定理：微積分學基本定理：若函數f(x)在[a,b]上連續(xù)，則由變動上限積分F(x)=242。f(t)dt,x206。[a,b]，定義的函數F在[a,b]上可導，而且F162。(x)=f(x).也就a是說，函數F是被積函數f(x)在[a,b]：設函數f(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)內可導，如果在(a,b)內f162。(x)179。0（或f162。(x)163。0），那么f(x)在[a,b]上單調增加（或單調減少）。證明的一般過程：（1）構造輔助函數f(x)，取定閉區(qū)間[a,b]；（2）求函數f(x)的導數f39。(x)，再判別它的符號，利用可導函數的一階導數符號與函數單調關系，判斷函數的單調性；（3）求函數在區(qū)間端點的函數值；（4）根據第2步和第3步即可得證。a+bbf(x)分析：可將此定積分不等式中常數b變?yōu)樽償祒，利用差式構造輔助函數：x例3設f(x)在[a,b]上連續(xù)，且單調遞增，試證明242。xf(x)dx179。a+xxF(x)=242。tf(t)dtf(t)dt，則要證F(b)179。F(a)=a+txf(t)
黨政相關相關推薦
鄂ICP備17016276號-1