【文章內(nèi)容簡介】 x+，其中x∈R，0b+xb+abaf（x）==1b+xb+x證明：令 f（x）=∵ba0ba+ 在R上為減函數(shù) b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數(shù) b+x∴y=∵m0∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的單調(diào)性證明，問題將迎刃而解。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x而0得f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。利用函數(shù)的值域例若x為任意實數(shù)，求證：—1x1≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域為[—，]即可。1+x222x2證明：設 y=，則yxx+y=0 21+x∵x為任意實數(shù)22∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0411得：—≤y≤ 221x1∴—≤≤ 21+x22∴y≤2[說明]應用判別式說明不等式，應特別注意函數(shù)的定義域。另證：類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡單。例求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對大于1的任意x與y恒成立。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變元的函數(shù)，然后根據(jù)變元函數(shù)的值域來求解a，從而說明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222lgx+lgy）2lgxlgy令 f(x)= == +222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy22而 lgx0,lgy0,∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy∴ 1從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。故必存在常數(shù)a，使原不等式對大于1的任意x、y恒成立。運用函數(shù)的奇偶性xx2xx 證明：設f（x）=(x≠0)x122 例證明不等式：xxx2xx∵f（x）== x+ x122212xxx[1(12)]+12x2xx=x+= f(x)x122=∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱x∵當x0時，12當x故當 x≠0時,恒有f(x)即：xx[小結(jié)]本題運用了比較法，實質(zhì)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性來證明的，本題也可以運用分類討論思想。但利用偶函數(shù)的軸對稱性和奇函數(shù)的中心對稱性，常能使所求解的問題避免復雜的討論。第四篇：構(gòu)造法證明函數(shù)不等式構(gòu)造法證明函數(shù)不等式利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點．解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導函數(shù)是用導數(shù)證明不等式的關(guān)鍵．一、移項法構(gòu)造函數(shù)【例1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：當x1時，恒有11163。ln(x+1)163。x． x+1二、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)f(x)=的圖象的下方．2312x+lnx，求證：在區(qū)間(1 ,+165。)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x32三、換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】（2007年山東卷）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln（111+1)23都成立． nnn四、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例4】若函數(shù)y=f(x)在R上可導，且滿足不等式xf39。(x)f(x)恒成立，常數(shù)a、b滿足ab，求證：af(a)bf(b)．五、主元法構(gòu)造函數(shù)1+x)x，g(x)=xlnx． 【例5】已知函數(shù)f(x)=ln(（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設0ab，證明：0g(a)+g(b)2g（a+b)(ba)ln2．2六、構(gòu)造二階導函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性（二次求導）【例6】已知函數(shù)f(x)=aex12x． 2（1）若f(x)在R上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若a=1，求證：當x0時，f(x)1+x．七、對數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例7】證明：當x0時，(1+x)1+xe1+2．（2007年，安徽卷）設a179。0，f(x)=x1ln2x+2alnx．求證：當x1時，恒有xln2x2alnx+1．（2007年，安徽卷）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)=1x12x+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中2a0，且b= 52a3a2lna，求證：f(x)179。g(x)．2已知函數(shù)f(x)=ln(1+x) xb，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有l(wèi)nalnb179。1． 1+xa（2007年，陜西卷）f(x)是定義在(0 , +165。)上的非負可導函數(shù)，且滿足xf39。(x)f(x)163。0，對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有（）A．a(chǎn)f(b)163。bf(a)B．bf(a)163。af(b)C．a(chǎn)f(a)163。f(b)D．bf(b)163。f(a)例1【分析】 本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)11，從其導數(shù)入手即可證明． x+11x1=【解析】由題意得：f162。(x)=，∴當1x0時，f162。(x)0，即f(x)在x+1x+1g(x)=ln(x+1)+x206。(1 , 0)上為增函數(shù)；當x0時，f162。(x)0，即f(x)在x206。(0 , +165。)上為減函數(shù)；故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1 , 0)，單調(diào)遞減區(qū)間(0 , +165。)；于是函數(shù)f(x)在(1 , +165。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0，因此，當x1時，f(x)163。f(0)=0，即ln(x+1)x163。0，∴l(xiāng)n(x+1)163。x（右面得證）．現(xiàn)證左面，令g(x)=ln(x+1)+11x1=1，則g162。(x)=