-1--中值定理(參考版)
2025-07-27 01:32本頁面
【正文】 一、羅爾 ( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西 (Cauchy)中值定理 中值定理 費馬 (fermat)引理 一、羅爾 ( Rolle )定理 且 存在 )( ?或證 : 設(shè) 則 0?0?xyo 0x證畢 羅爾（ Rolle ）定理 滿足 : (1) 在區(qū)間 [a , b] 上連續(xù) (2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo) (3) f ( a ) = f ( b ) 使 .0)( ?? ?fxyoa b)( xfy ??證 : 故在 [ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 則 因此 在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點 若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個與端點值不等 , 不妨設(shè) 則至少存在一點 使 .0)( ?? ?f注意 : 1) 定理條件條件不全具備 , 結(jié)論不一定成立 . 例如 , x1yo則由費馬引理得 x1yo1? x1yo使 2) 定理條件只是充分的 . 本定理可推廣為 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo) , 且 ??? )(l i m xfax )(lim xfbx ??在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點 證明提示 : 設(shè) 證 F(x) 在 [a , b] 上滿足羅爾定理 . O A B C a ? b x y )(xfy ? 一條連續(xù)曲線 ,除端點外處處有不垂直于 x軸的切線 ,且兩端點的縱坐標相等 . 若定理條件不滿足，則結(jié)論不一定成立 . 羅爾定理的幾何解釋 : 則在曲線上至少有一點 C,在該點處切線水平 . 例 1. 證明方程 ,15)( 5 ??? xxxf
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