構(gòu)造函數(shù)(編輯修改稿)
2025-10-28 19:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ,b,c,d206。R+且a+b+c+d=1，求證：4a+1+4b+1+4c+1+4d+1﹤6。解析：構(gòu)造函數(shù)：f(x)=(4a+1x1)2+(4b+1x1)2+(4c+1x1)2+(4d+1x1)2＝8x22(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)x+4.(Qa+b+c+d=1)由f(x)179。0，得⊿≤0，即⊿＝4(4a+1+4b+1+4c+1+4d+1)2128163。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。42﹤,b,c,d206。R+且a+b+c=1，求解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(＝(1axa)2+(149++的最小值。abc2bxb)2+(3cxc)21492++)x12x+1,(Qa+b+c=1)abc111由f(x)179。0（當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=,c=時(shí)取等號(hào)），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當(dāng)a=,b=,c=時(shí)，(++)min=36 632abc構(gòu)造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性+例巳知a、b、c∈R，且a b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。若采用函數(shù)思想，構(gòu)造出與所證不等式密切相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)值而證之，思路則更為清新。a+x+，其中x∈R，0b+xb+x證明：令 f（x）= ∵ba0 ba+ 在R上為減函數(shù) b+xba+從而f（x）= 在R上為增函數(shù)b+x∴y= ∵m0 ∴f（m） f（0）∴a+ma b+mb例求證：a+b1+a+b≤a+b1+a+b（a、b∈R）[分析]本題若直接運(yùn)用比較法或放縮法，很難尋其線索。若考慮構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明，問題將迎刃而解。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。利用函數(shù)的值域例若x為任意實(shí)數(shù)，求證：—x11≤≤ 221+x2[分析]本題可以直接使用分析法或比較法證明，但過程較繁。聯(lián)想到函數(shù)的值域，于是構(gòu)造函數(shù)f（x）= x11，從而只需證明f(x)的值域?yàn)閇—，]即可。1+x222x2證明：設(shè) y=，則yxx+y=0 21+x ∵x為任意實(shí)數(shù) ∴上式中Δ≥0，即（1）4y≥0 1 411得：—≤y≤22x11 ∴—≤≤21+x22 ∴y≤2[說明]應(yīng)用判別式說明不等式，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。另證：類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡(jiǎn)單。例求證：必存在常數(shù)a，使得Lg（xy）≤ +lg2y對(duì)大于1的任意x與y恒成立。[分析]此例即證a的存在性，可先分離參數(shù)，視參數(shù)為變?cè)暮瘮?shù)，然后根據(jù)變?cè)瘮?shù)的值域來求解a，從而說明常數(shù)a的存在性。若s≥f(t)恒成立，則s的最小值為f(t)的最大值；若 s≤f(t)恒成立，則s的最大值為f(t)的最小值。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222（lgx+lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1+222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy 而 lgx0,lgy0, ∴l(xiāng)g
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