【正文】 JIU JIANG UNIVERSITY 畢 業(yè) 論 文 題 目 微分中值定理證明不等式方法研究 英文題 目 Using differential mean value theorem proving inequality method studying 院 系 理學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名 胡霞 班 級 A0811 班 指導(dǎo)教師 強毅 二零一二年五月 I 摘 要 不等式的證明有很多種，其中微分中值定理是證明不等式的一種重要的方法。本文 分別給出羅爾中值定理 ,拉格朗日中值定理 ,柯西中值定理以及泰勒中值定理的定義以及分別利用其定理證明的一些不等式。新課程標(biāo)準(zhǔn)更加注重理論聯(lián)系實際且應(yīng)用實際的原則，因此本文最后還給出一些基本不等式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 : 羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式證明；不等式 的應(yīng)用 II Abstract There are many ways to prove inequality， And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem， Lagrange Mean Value Theorem， Cauchy Mean Value Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical， therefore this paper finally give some basic inequality in real life application. Key Words: Roller Mean Value Theorem。 Lagrange Mean Value Theorem。 Cauchy Mean Value Theorem。 Taylor Mean Value Theorem。 Apply of inequality。 Prove inequality. 目 錄 引言 ....................................................................................................................................... 1 第一章 知識準(zhǔn)備 ................................................................................................................. 2 ................................................................................................. 2 ......................................................................... 3 第二章 利用羅爾中值定理證明不等式 ............................................................................. 4 ................................................................................. 4 羅爾中值定理的應(yīng)用 ............................................................................................ 4 第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式 ..................................................................... 5 ......................................................................... 5 ............................................................................. 5 第四章 利用柯西中值定理證明不等式 ............................................................................. 8 ............................................................................................. 8 不等式 ..................................................................................... 8 第五章 利用泰勒中值定理證明不等式 ........................................................................... 11 ............................................................... 11 ................................................................................... 11 第六章 綜合利用微分中值定理證明不等式 ................................................................... 14 ................................................................................... 14 第七章 微分中值定理證明不等式在解題中的應(yīng)用 ....................................................... 16 第八章 基本不等式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用 ....................................................................... 18 第九章 研究總結(jié) ............................................................................................................... 20 參 考 文 獻 ....................................................................................................................... 21 致 謝 ................................................................................................................................. 22 1 引 言 不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容 ,也是數(shù)學(xué)中的重要的方法和工具 .在微分學(xué)中 ,微分中值定理 ,函數(shù)單調(diào)性判定定理及極值等重要的結(jié)論都可以用來證明不等式 .本文通過幾個具體的例子來具體說明微分中值定理在證明不等式中的運用 ,以及不同的微分中值定理在解決證明不等式的區(qū)別，并且還給出基本 不等式在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用 . 數(shù)學(xué)問題的解決關(guān)鍵在于我們對待數(shù)學(xué)問題的方法，如果在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們能有意識地將數(shù)學(xué)問題系列化，解決數(shù)學(xué)問題的方法系列化，那么解決數(shù)學(xué)問題的能力將會得到升華 .在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待的，不等式的證明是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是難點之一，其常用的方法有：比較法、綜合法、分析法、重要不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等，而有一些問題用上述方法解決是困難的，在學(xué)完中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的內(nèi)容以后，可以利用微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、常數(shù)變易法、函數(shù)極值性、凸凹性 等知識解決一些不等式證明的問題 .因此，微分中值定理為證明不等式注入了新的活力，這一創(chuàng)造性思維有效合理的使不等式獲得證明，從而體現(xiàn)出初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系 .隨著時代的發(fā)展，科技的進步及課程改革的不斷深入，微分中值定理的應(yīng)用必將滲透到社會領(lǐng)域的方方面面 .