證明不等式的幾種常用方法(已修改)
2025-04-20 04:10 本頁面
【正文】 精品資源證明不等式的幾種常用方法證明不等式除了教材中介紹的三種常用方法，即比較法、綜合法和分析法外，在不等式證明中，不僅要用比較法、綜合法和分析法，根據(jù)有些不等式的結(jié)構(gòu)，恰當(dāng)?shù)剡\用反證法、換元法或放縮法還可以化難為易．下面幾種方法在證明不等式時也經(jīng)常使用．一、反證法如果從正面直接證明，有些問題確實相當(dāng)困難，容易陷入多個元素的重圍之中，而難以自拔，此時可考慮用間接法予以證明，反證法就是間接法的一種．這就是最“沒辦法”的時候往往又“最有辦法”，所謂的“正難則反”就是這個道理．反證法是利用互為逆否的命題具有等價性來進行證明的，在使用反證法時，必須在假設(shè)中羅列出各種與原命題相異的結(jié)論，缺少任何一種可能，則反證法都是不完全的．用反證法證題的實質(zhì)就是從否定結(jié)論入手，經(jīng)過一系列的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，從而說明原結(jié)論正確．例如要證明不等式A＞B，先假設(shè)A≤B，然后根據(jù)題設(shè)及不等式的性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．對于要證明的結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面難以找到解題的突破口，可轉(zhuǎn)換視角，用反證法往往立見奇效．例1 設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，求證：下列三個不等式：①a＋b＜c＋d；②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一個不正確．反證法：假設(shè)不等式①、②、③都成立，因為a、b、c、d都是正數(shù)，所以不等式①與不等式②相乘，得：(a＋b)＜ab＋cd，④由不等式③得(a＋b)cd＜ab(c＋d)≤()(c＋d)，∵a＋b＞0，∴4cd＜(a＋b)(c＋d)，綜合不等式②，得4cd＜ab＋cd，∴3cd＜ab，即cd＜ab．由不等式④，得(a＋b)＜ab＋cd＜ab，即a＋b＜－ab，顯然矛盾．∴不等式①、②、③中至少有一個不
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