【正文】 n,所以).()2)(1(2)1l n()1( 14ln413ln312ln21 *22222222 Nnnn nnn ?????????? ? 例 16.(20xx年福州市質(zhì)檢 )已知函數(shù) .ln)( xxxf ? 若 ).()(2ln)()(:,0,0 bfbafbaafba ??????? 證明 解析 :設(shè)函數(shù) ( ) ( ) ( ), ( 0)g x f x f k x k? ? ? ? .2021,0)(,ln1)l n (1ln)(.0),l n ()(ln)(,ln)(kxkxk kxxk xxgxkxxkxxgkxxkxkxxxgxxxf????????????????????????????則有令?? ∴ 函數(shù) kkxg ,2[)( 在）上單調(diào)遞增，在 ]2,0(k上單調(diào)遞減 . ∴ )(xg 的最小值為 )2(kg，即總有 ).2()( kgxg ? 而 ,2ln)()2ln(l n2ln)2()2()2( kkfkkkkkkfkfkg ???????? ,2ln)()( kkfxg ??? 即 .2ln)()()( kkfxkfxf ???? 令 , bxkax ??? 則 .bak ?? .2ln)()()()( babafbfaf ?????? ).()(2ln)()( bfbafbaaf ?????? 三、分式放縮 姐妹不等式 : )0,0( ?????? mabma mbab和 )0,0( ?????? mbama mbab 記憶口 訣 ”小者小 ,大者大 ” 解釋 :看 b,若 b 小 ,則不等號(hào)是小于號(hào) ,反之 . 例 19. 姐妹不等式 : 12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn?和 12 1)211()611)(411)(211( ?????? nn?也可以表示成為 12)12(531 2642 ??????? ??? nn n? ? 和 12 12642 )12(531 ?????? ????? nnn?? 解析 : 利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì) )0,0( ?????? mabma mbab可得 ???? 12 2563412 n n? ???? nn2 12674523 ? )12(2 1265432 ????? nnn? ? 12)12 2563412( 2 ????? nn n? 即 .12)12 11()511)(311)(11( ??????? nn? 例 : .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 解析 : 運(yùn)用兩次次分式放縮 : 13 13784512 ???????????? n nnn ?? (加 1) nnnn 3 13784512 ???????????? ?? (加 2) 相乘 ,可以得到 : )13(13 2387542113 13784512 2 ?????????????????????? ?????? nnnnnnn ??? 所以有 .13)23 11()711)(411)(11( 3 ??????? nn? 四、分類放縮 例 :212 131211 nn ?????? ? 解析 : ??????????????? ?? )21212121()4141(21112 131211 3333n 2)211(221)212121( nn nnnnn ???????? ? 例 22.(20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試改編 ) 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中 , y 軸正半軸上的點(diǎn)列 ??nA 與曲線 xy 2? （ x ≥0）上的點(diǎn)列 ??nB 滿足nOBOA nn 1??，直線 nnBA 在 x 軸上的截距為 na .點(diǎn) nB 的橫坐標(biāo)為 nb , ??Nn . (1)證明 na 1?na 4， ??Nn 。2lnx(k∈ N*).k 是奇數(shù) , n∈ N*時(shí) , 求證 : [f’(x)]n－ 2n－ 139。f ? ∴ (0) ? （ Ⅱ ）解：任取 12, [0,1],xx? 且設(shè) 12,xx? 則 2 1 2 1 1 2 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 3 ,f x f x x x f x f x x? ? ? ? ? ? ? 因?yàn)?210xx??，所以 21( ) 3f x x??，即 21( ) 3 0,f x x? ? ? ∴ 12( ) ( )f x f x? . ∴ 當(dāng) x? [0,1]時(shí)， ( ) (1) 4f x f??. （ Ⅲ ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：11( ) 3( *)33nnf n N??? ? ? （ 1） 當(dāng) n=1 時(shí)，00( ) (1) 4 1 3 3ff? ? ? ? ? ?，不等式成立； （ 2） 假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)，11( ) 3( *)33kkf k N??? ? ? 由11 1 1 1 1 1 1( ) [ ( ) ] ( ) ( ) 33 3 3 3 3 3 3k k k k k k kf f f f? ? ? ? ? ? ? ? 111( ) ( ) ( ) 6333kkkfff? ? ? ? 得111 1 13 ( ) ( ) 6 3 3k k kff??? ? ? ? 即當(dāng) n=k+1 時(shí)，不等式成立 由（ 1）、（ 2）可知，不等式11( ) 333nnf ????對(duì)一切正整數(shù)都成立 . 于是，當(dāng)111( , ]( 1, 2,3, )33nnxn?? ? ???時(shí)，111 1 13 3 3 3 3 ( )3 3 3n n nxf??? ? ? ? ? ? ?， 而 x? [0,1]， ??fx單調(diào)遞增 ∴111( ) ( )33nnff?? 所以，11( ) ( ) 3 x f x?? ? ? 例 50. 已知： 12 1, 0nia a a a? ? ? ? ? )21( ni ?? 求證： 22221121 2 2 3 1 1 12nnn n naaaaa a a a a a a a??? ? ? ? ?? ? ? ? 解析 :構(gòu)造對(duì)偶式：令1212 132222121 aa aaa aaa aaa aAn nnn n ????????? ? ?? 1211232232122 aa aaa aaa aaa aBnnnn ??????????? 則1212122 1322322212221 aa aaaa aaaa aaaa aaBAnnnnnn ????????????????? ＝ BAaaaaaaaa nnn ??????????? ? ,0)()()()( 113221 ? 又 ? )(2122 jiji ji aaaa aa ???? （ )2,1, nji ?? 1212122 1322322212221 )(21)(21 aa aaaa aaaa aaaa aaBAAnnnn nn ??????????????????? ? ?21)()()()(41 113221 ?????????? ? aaaaaaaa nnn? 十一 、 積分放縮 利用定積分的保號(hào)性比大小 保號(hào)性是指，定 義在 ? ?,ab上的可積函數(shù) ? ? ? ?0fx??，則 ? ? ? ?0ba f x dx???. 例 ： e e??? . 解析 : ln lne eee? ?? ?? ? ?， ∵ ln ln ln lneee x xde x x? ??? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ??21 lne xdxx? ???， ? ?,xe?? 時(shí)， 21 ln 0xx? ? ， 21 ln 0e xdxx? ? ?? ， ∴ ln lnee?? ?， e e??? . 利用定積分估計(jì)和式的上下界 定積分產(chǎn)生和應(yīng)用的一個(gè)主要背景是計(jì)算曲邊梯形的面積，現(xiàn)在用它來估計(jì)小矩形的面積和 . 例 52. 求證： ? ?1 1 11 2 1 123 nn? ? ? ? ? ? ?， ? ?1,n n N??. 解析 : 考慮函數(shù) ? ? 1fxx?在區(qū)間 ? ?,1ii? ? ?1,2,3, ,in? 上的定積分 . 如圖，顯然 11 1 11 ii dxi i x?? ? ? ?① 對(duì) i 求和， 111nniiii dxix??????? 11 1n dxx??? 112 nx ??????? ?2 1 1n? ? ? . 例 53. 已知 ,4n N n??.求證： 1 1 1 1 71 2 3 2 1 0n n n n? ? ? ? ?? ? ?. 解析 :考慮函數(shù) ? ? 11fx x? ?在區(qū)間 1,iinn???????? ?1,2,3, ,in?上的定積分 . ∵ 1ni? 111 inn???1 11inin dxx?? ??② ∴1 1ni ni? ??1111ni in n?????11 11in nii n dxx??? ??? ? ?1 100 1 ln 11 d x xx? ? ??????? 7l 2 10??. 例 54. （ 20xx年全國高考江蘇卷 ）設(shè) 0a? ，如圖，已知直線 axyl ?: 及曲線 C ： 2xy? ， C上的點(diǎn) 1Q 的橫坐標(biāo)為 1a （ aa??10 ） .從 C 上的點(diǎn) ? ?1nQn? 作直線平行于 x 軸，交直線 l 于點(diǎn) 1?nP ，再從點(diǎn) 1?nP 作直線平行于 y 軸，交曲線 C 于點(diǎn) 1nQ? . ? ?1,2, ,nQ n n? 的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 ??na . （ Ⅰ ）試求 1na? 與 na 的關(guān)系，并求 ??na 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）當(dāng)21,1 1?? aa時(shí)，證明 ?? ?? ??nk kkk aaa1 21 321)(； （ Ⅲ ）當(dāng) 1a? 時(shí)，證明121 1()3n k k kk a a a??? ???. 解析 : 121()nn aaaa ??（過程略） . 證明（ II）： 由 1a? 知 21nnaa?? ， ∵1 12a?， ∴2311,4 16aa??. ∵ 當(dāng) 1k? 時(shí)，23116kaa? ??， ∴1 2 1 1 1111 1 1( ) ( ) ( )1 6 1 6 3 2nnk k k k k nkka a a a a a a? ? ? ???? ? ? ? ? ???. 證明（ Ⅲ ）： 由 1a? 知 21kkaa?? . ∴ 21 2 1 1( ) ( )k k k k k ka a a a a a? ? ? ?? ? ?恰表示陰影部分面積， 顯然 12211() kkak k k aa a a x dx??????④ ∴21 2 1 111( ) ( )nnk k k k k kkka a a a a a? ? ? ???? ? ???1 21 kkn aak xdx????? 1 20axdx?? 311133a??. 奇巧積累 : 將定積分構(gòu)建的不等式略加改造即得 “初等 ”證明，如： ①111ii dxix???? ? ?21ii? ? ?； ② 1ni? 1 11inin dxx?? ?? 1ln 1 ln 1iinn?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?； ③121sin sin1 siniii??? ????1sin 12sin 11ii iidxx?? ??? ?? ? ???； ④ ? ?12 2 3 31 1 11() 3kkak k k k kaa a a x d x a a?? ? ?? ? ? ??. 十二 、 部分放縮 (尾式放縮 ) 例 : 74123 1123 113 1 1 ????????? ?n? 解析 : 1211 23 123 12811123 17141123 1123 113 1 ??? ???????????????????? nnn ??? 7484488447211 41312811 ??????? 例 56. 設(shè) ???ana 211 .2,131 ??? an aa ?求證： .2?n