【正文】 進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。即通項(xiàng)公式為錯誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；②在錯誤！未找到引用源。．（1）若錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。的等差數(shù)列，求使錯誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯誤！未找到引用源。．記等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。時，求證：當(dāng)錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。、錯誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯誤！未找到引用源。為等差數(shù)列；⑵ 設(shè)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。時，設(shè)錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。.其中錯誤！未找到引用源。是數(shù)列錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；錯誤！未找到引用源。.錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。定義錯誤！未找到引用源。.對數(shù)列錯誤！未找到引用源。若不等式錯誤！未找到引用源。的值；（3）在滿足條件（2）的情形下，設(shè)錯誤！未找到引用源。）．（1）求錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（累乘時要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯誤！未找到引用源。公比為錯誤！未找到引用源。如果題目條件無法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯誤！未找到引用源。④ 若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路選擇：第一個方法是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動，其余項(xiàng)放縮。錯誤！未找到引用源。3n+12n1n4．放縮后為裂項(xiàng)相消，再求和例已知an=n，求證：∑k=1akk＜3．第二篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明數(shù)列不等式基礎(chǔ)知識回顧:放縮的技巧與方法：（1）常見的數(shù)列求和方法和通項(xiàng)公式特點(diǎn)：① 等差數(shù)列求和公式：錯誤！未找到引用源。(akak+1)ak+2.232k=1n，放縮另外的項(xiàng)； 例求證：11117+++L+ 122232n2例已知an=5n41對任何正整數(shù)m，, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮例.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)iin＞(1+n)m二、放縮法綜合問題（一）、先求和后放縮例1．正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn，滿足2Sn=an+1，試求：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Bn，求證：Bn。，b∈R，“因式”；a+b1+a+b163。abbcca，b，c為△ABC的三條邊，且有a2+b2=c2，當(dāng)n206。n+12+1(x)=+x2，求證：當(dāng)a185。*利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。a+ca+b12+1+?+1n＜2n。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。第一篇：2012高考專題數(shù)列與不等式放縮法高考專題——放縮法一、基本方法1.“添舍”放縮通過對不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。N*).23a2a3an+一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。n(n+1)(n+1)=180。n2x1*(x)=x，證明：對于n206。b時f（a）f（b）ab。N*且n179。a1+a+b1+b。2anan+1（二）、先放縮再求和（或先求和再放縮）例、函數(shù)f（x）=4x1+4x，求證：f（1）+f（2）+?+f（n）n+12n+1(n206。錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。即通項(xiàng)公式為錯誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。和錯誤！未找到引用源。；若錯誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。．（1）求證:錯誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。① 判定錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。還可放縮為：錯誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯誤！未找到引用源。記數(shù)列錯誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。若當(dāng)錯誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設(shè)數(shù)列錯誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯誤！未找到引用源。其中，錯誤！未找到引用源。數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)錯誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯誤！未找到引用源。且滿足錯誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。對任意錯誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。且錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。（關(guān)于錯誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯誤！未找到引用源。（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項(xiàng)相消：在放縮時，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯誤！未找到引用源。例如常數(shù)錯誤！未找到引用源。注：此方法會存在風(fēng)險(xiǎn)，所猜出的等比數(shù)列未必能達(dá)到放縮效果，所以是否選擇利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮，受數(shù)列通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)影響（4）與數(shù)列中的項(xiàng)相關(guān)的不等式問題：① 此類問題往往從遞推公式入手，若需要放縮也是考慮對遞推公式進(jìn)行變形② 在有些關(guān)于項(xiàng)的不等式證明中，可向求和問題進(jìn)行劃歸，即將遞推公式放縮變形成為可“累加”或“累乘”的形式，即錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為常數(shù)，且錯誤！未找到引用源。若數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯誤！未找到引用源。（2）由（1）知，錯誤！未找到引用源。而錯誤！未找到引用源。解得錯誤！未找到引用源。！未找到引用源。若錯誤！未找到引用源。.例如：錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。（2）詳見解析（3）詳見解析 【解析】試題分析：（1）根據(jù)及時定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)子集關(guān)系，進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)錯誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯誤！未找到引用源。.又錯誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯誤！未找到引用源。.因此，錯誤！未找到引用源。滿足：錯誤！未找到引用源。（錯誤！未找到引用源。則有：錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯誤！未找到引用源。使得錯誤！未找到引用源。① 判定錯誤！未找到引用源。恒成立，求錯誤！未找到引用源。時，數(shù)列錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。注：對于錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。；（3）問是否存在正整數(shù)錯誤！未找到引用源。（3）當(dāng)錯誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e誤！未找到引用源。和②：錯誤！未找到引用源。不成立，當(dāng)錯誤！未找到引用源。因?yàn)殄e誤！未找到引用源。所以當(dāng)錯誤！未找到引用源。中，錯誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。為偶數(shù)時，錯誤！未找到引用源。項(xiàng)的和為錯誤！未找到引用源。要使錯誤！未找到引用源。對錯誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯誤！未找到引用源。； ⑶由⑴得錯誤！未找到引用源。設(shè)錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。當(dāng)錯誤！未找到引用源。因此數(shù)列錯誤！未找到引用源。的關(guān)系式．3．【江蘇省徐州市2018屆高三上學(xué)期期中考試】已知數(shù)列滿足，且． 的前項(xiàng)和為，滿足，．?dāng)?shù)列（1）求數(shù)列（2）若和的通項(xiàng)公式；，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意的，（，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否存在正整數(shù)，使，請說明理由．【答案】（1）（2））成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足條件的，若不存在，（3）不存在（2）由（1）得于是所以，兩式相減得所以由（1）得因?yàn)閷?即所以恒成立，都有，恒成立，記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．（），使成等差數(shù)列，則，時取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與矛盾；，即，此時4．已知數(shù)列錯誤！未找到引用源。滿足錯誤！未找到引用源。．（1）求數(shù)列錯誤！未找到引用源。有錯誤！未找到引用源。求數(shù)列錯誤！