利用放縮法證明數(shù)列型不等式壓軸題(參考版)
2025-03-27 12:45本頁面
【正文】 9。多想幾個為什么：用放縮法能否解決，是哪種類型的放縮法，要注意什么問題等等。 本文選取的例題都是高考或模擬考中的壓軸題，有一定難度，從中我們可以發(fā)現(xiàn)放縮法是證明數(shù)列型不等式的壓軸題的最重要的方法。從中可以發(fā)現(xiàn)放縮后的式子越接近放縮前的式子，即放縮程度越小，精確程度越高，保留的項就越少，運算就越簡單。方法一是將放大成，需從第二項起，要分類討論；而方法二是將放大成。證法二：。（I）數(shù)列是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；（II）求和；（III）求證：。同樣的題干，稍有調(diào)整，我們所用的方法便有不同。再看例2，若構(gòu)造函數(shù)，則前后不等號不一致，不能確定的單調(diào)性，此時放縮過當(dāng)，此題不適宜用單調(diào)函數(shù)放縮法。把握放縮的尺度：如何確定放縮的尺度，不能過當(dāng)，是應(yīng)用放縮法證明中最關(guān)鍵、最難把握的問題。放縮的項數(shù)：有時從第一項開始，有時從第三項，有時第三項，等等，即不一定是對全部項進行放縮。例9設(shè)函數(shù)，其中．證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立．分析：欲證上述結(jié)論，直接作差比較，無從下手；接著想到令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于定義域為正整數(shù)，不能用導(dǎo)數(shù)，只能計算，其結(jié)果還是很難處理；聯(lián)想到數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，將命題加強，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，如果在單調(diào)，則函數(shù)也單調(diào)。例8在單調(diào)遞增數(shù)列中，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，．（I）分別計算，和，的值；（II）求數(shù)列的通項公式（將用表示）；（III）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：，．
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