【正文】 等差數(shù)列，所以錯誤！未找到引用源。是公差為錯誤！未找到引用源。，的等差數(shù)列，又錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，顯然，錯誤！未找到引用源。滿足條件，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。不是整數(shù)，綜上所述，正整數(shù)錯誤！未找到引用源。的取值集合為錯誤！未找到引用源。.（3）設(shè)等差數(shù)列錯誤！未找到引用源。的公差為錯誤！未找到引用源。，則錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，即數(shù)列錯誤！未找到引用源。是公比大于錯誤！未找到引用源。，首項大于錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，記公比為錯誤！未找到引用源。.以下證明： 錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。為正整數(shù)，且錯誤！未找到引用源。，因為錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，錯誤！未找到引用源。，當(dāng)錯誤！未找到引用源。時，因為錯誤！未找到引用源。為減函數(shù)，錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，所以錯誤！未找到引用源。，綜上，錯誤！未找到引用源。，其中錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿足(n＋1)bn＝an＋1錯誤！未找到引用源。，(n＋2)＝錯誤！未找到引用源。，其中n∈N*．（1）若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{}的通項公式；（2）若存在實數(shù)λ，使得對一切n∈N*，有bn≤λ≤，求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列． 【答案】（1）＝1．（2）．已知各項不為零的數(shù)列錯誤！未找到引用源。的前錯誤！未找到引用源。項和為錯誤！未找到引用源。，且錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。，錯誤！未找到引用源。．（1）若錯誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的值；（2）若錯誤！未找到引用源。成等差數(shù)列，①求數(shù)列錯誤！未找到引用源。的通項公式； ②在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，共同組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯誤！未找到引用源。對任意的錯誤！未找到引用源。恒成立，求實數(shù)錯誤！未找到引用源。的最大值．【答案】（1）錯誤！未找到引用源。（2）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。（3）錯誤！未找到引用源。，在錯誤！未找到引用源。與錯誤！未找到引用源。間插入錯誤！未找到引用源。個正數(shù)，組成公比為錯誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，故有錯誤！未找到引用源。，即錯誤！未找到引用源。，第三篇：放縮法證明數(shù)列不等式放縮法證明不等式設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和Sn=43an13180。2nn+1+3(n=1,2,3,L)n（Ⅰ）求首項a1與通項an；（Ⅱ）設(shè)Tn=an=42nn2Sn(n=1,2,3,L)，證明：229。Tii=1解：易求Sn=Tn=（其中n為正整數(shù)）nn432nan=n13180。180。2n+1+=(4n23n)180。2n+1+=(2n+11)(21)nSn(2n+11)(21)=1230。1246。180。231。nn+1247。2232。2121248。所以：229。i=1Ti=313230。1246。180。231。1n+1247。2232。2121248。2求證：（1）11+法1：數(shù)歸（兩邊都可以）法2：放縮裂項 法3：定積分放縮（2）22L+n206。N)++L+1n1n31n11n法1：放縮一：n(n1)=(n179。2)Sn=+++L+1n1n(1336++++52)+（15=1653++L+1n11n)＝1+13361214001++1121400=1+23893600(11+24003600.放縮二：1n1n1=(n+1)(n1)=2n1n+1),(n179。2)Sn=54++L+1n（11+2)+111111111(++L++)22435n2nn1n+1+1111151115(+)+(+)=.223nn+142233放縮三：1n1n=(n+112)(n12)=（1n1n+12)=2（12n112n+1),(n179。1)Sn=++L+1n1+2（13++L+12n112n+1)=1+2（1312n+1)法2：數(shù)歸——加強命題：常用的放縮公式：1n(n+1)2n+n+11n+L+1n1n1n(n1)1n；n+n12nn+n+1；=nn+2n1；aba+mb+m(ba0,m0)1kk(k+1)(k1)1n+11k(k1)=249。1233。11*(k179。2,k206。N)234。2235。k(k1)k(k+1)1n+k163。n+kn1k!163。+1n+2+...+kn+11(k179。3)(k179。2)；212n+1nk!k(k1)(k2)nan=例3：已知：1(n206。N+)，求證：229。aii=1n2法1：均值不等式：即證++715n2+...+212n+1n1+n2也即：++715+...+212nn+1n1而:++715+...+212n+11179。n==法2：放縮后裂項求和an=21212n+1n1（=212(21nn)1=n+1=121(2n+1n1)(21)n=21nn+11)法3：數(shù)歸，但是直接去證是不行的，要轉(zhuǎn)化為一個加強命題4．定義數(shù)列如下：a1=2,an+1=anan+1,n206。N*證明：（1）對于n206。N恒有an+1an成立。2**（2）當(dāng)n2且n206。N，有an+1=anan1La2a1+1成立。（3）120061a1+1a2+L+1a20061。解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。（2）由an+1=anan+1得：an+11=an(an1)\an1=an1(an11)……a21=a1(a11)以上各式兩邊分別相乘得：an+11=anan1La2a1(a11)，又a1=2\an+1=anan1La2a1+1（3）要證不等式120061a1+1a2+L+1a20061，可先設(shè)法求和：1a1+1a2+L+a2006，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。Qan+11=an(an1)\1an+111an1a1=1an11an\=1an11a21an+111a2006\++L+=（1a1111a211)+（1a211a31)+L+（1a200611a20071)=a11a200711=1a1a2La20061又a1a2La2006a12006=22006\11a1a2La200612006\原不等式得證。5．已知數(shù)列{an}中an=iinnn21，求證：229。ai(ai1)=1方法一：ai(ai1)=ni2121iii(21)(22)=ii1i1(21)(21)=i11121i.\229。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。22ii1.(i179。2)n\229。i=1ai(ai1)2+++L+n1=2+(112)=3n1n1法3：數(shù)歸證\229。i=1ai(ai1)3121n3.（即轉(zhuǎn)化為證明加強命題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，數(shù)列{an}滿足：a1=2,ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)．（1）求證：ln(1+x)163。x；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）求證不等式：a1+a2+L+ann+ln2ln(n+2)． 解：（1）f(x)=ln(1+x)x，f39。(x)=11+x1=x1+x，當(dāng)1x0時，f39。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)x0時，f39。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．所以f39。(0)=0，即x=0是極大值點，也是最大值點f(x)=ln(1+x)x163。f(0)=0222。ln(1+x)163。x，當(dāng)x=0時取到等號．（2）法1：數(shù)學(xué)歸納法（先猜想，再證明）法2：由ln2+lnan+1=an+1an+f(an+1an)得2an+1=an+1an+1，an+1=12an，an+11=12an1=an12an，1an+11=1an11，即數(shù)列237。236。252。1=2，公差為1，是等差數(shù)列，首項為253。a11238。an1254。nn+1∴an1=n1222。an=．（3）法1：a1+a2+L+an=111+1+112+1+L+111246。230。1=n231。++L+247。23n+1n+1232。248。