數(shù)列型不等式的放縮技巧九法-預(yù)覽頁
【正文】 等式法例1 設(shè)求證解析 此數(shù)列的通項(xiàng)為，即 注：①應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！②根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來放縮： ，即例7 已知不等式表示不超過 的最大整數(shù)。 注：①上述不等式可加強(qiáng)為簡證如下： 利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： 故有②上述數(shù)列的極限存在，為無理數(shù)；同時(shí)是下述試題的背景：已知 是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國卷理科第20題） 簡析 對(duì)第（2）問：用代替得數(shù)列是遞減數(shù)列；借鑒此結(jié)論可有如下簡捷證法：數(shù)列遞減，且故即。三 添減項(xiàng)放縮 上述例4之法2就是利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。類題有06年湖南卷理科第19題：已知函數(shù),數(shù)列{}滿足:證明:(ⅰ)。例17 設(shè)，定義，求證：對(duì)一切正整數(shù)有解析 用數(shù)學(xué)歸納法推時(shí)的結(jié)論，僅用歸納假設(shè)及遞推式是難以證出的，因?yàn)槌霈F(xiàn)在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：對(duì)一切正整數(shù)有（證明從略）例18 數(shù)列滿足證明（01年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克試題）簡析 將問題一般化：先證明其加強(qiáng)命題用數(shù)學(xué)歸納法，只考慮第二步： 因此對(duì)一切有 例19 已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)一切正整數(shù)n有a11）……1176?！璦n＝，為證a1N*時(shí)有……2176。（用數(shù)學(xué)歸納法，證略）利用3176。式成立，從而結(jié)論
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