【正文】 ln(n+2) ． 法2：積分法要證原命題，即證：231。230。1232。2246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。1++L+11246。230。1++L+231。247。3n+1248。232。2230。1232。2n+2242。1xdx=lnxn+22法3：數(shù)歸證明：、（1）求證：2n++L+246。247。ln(n+2)ln2 n+1248。+2n+1(n2,n206。N)nn1n01法1：2=Cn+Cn+...+Cn+Cn；法2：數(shù)學(xué)歸納法 法3：函數(shù)法（求導(dǎo)），證明：()+()+…+（nn*nnn1n)+（nnn)nee1提示:借助e179。1+x證明x第四篇：放縮法與數(shù)列不等式的證明2017高三復(fù)習(xí)靈中黃老師的專題放縮法證明數(shù)列不等式編號(hào)：001 引子：放縮法證明數(shù)列不等式歷來是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，在高考數(shù)列試題中經(jīng)常扮演壓軸的角色。由于放縮法靈活多變，技巧性要求較高，所謂“放大一點(diǎn)點(diǎn)太大，縮小一點(diǎn)點(diǎn)太小”。為了揭開放縮法的神秘面紗，黃老師特開設(shè)這一專題，帶領(lǐng)大家走近“放縮法”。一．放縮法證明不等式的理論依據(jù)： １．不等式的傳遞性：２．同向不等式的可加性：３．同向的正數(shù)不等式的可乘性：二．常見的數(shù)列求和的方法及公式特點(diǎn)： １．等差數(shù)列的和。an=_____sn=______(n206。N*)２．等比數(shù)列的和：an=kqn,sn=３．錯(cuò)位相減法：等差等比４．裂項(xiàng)相消法：若anan1=d(d為常數(shù)）：１．放縮目標(biāo)模型：可求和 １．１等差模型1111=()(n206。N*)anan1dan1ana1(1qn)（q185。1）(n206。N*)1qn(n+1)n(n+2)p12+23+...+n(n+1)p例１.（１９８５全國卷）求證：(n206。N*)22n(n+1)n(n+3)p12+23+...+n(n+1)p變式：(n206。N*)22：+2+3+....+n1(n206。N*)2222：1+12+1+11223+1+......+2n+11(n206。N*2+1)例３.（２０１４全國卷Ⅱ１{an}滿足a1=1,an+1=3an+1,1）證明：236。237。238。a1252。n+{an}的通項(xiàng)公式 2）證明：1a+113a+.......+12an2變式：求證：121+121+1152231+......+2n13(n206。N*)例４.（２００２全國卷理２２題７題）第２問已知數(shù)已知數(shù)列列（（）{an}滿足an+1=an2nan+1,n=1,2,3.......當(dāng)a1179。3時(shí)，證明對(duì)所有的n179。1,n206。N*(1）an179。n+2（2）證明：1a1+1a+.......+111+2+1an+12：12+1+23n22+2+23+3+.......+2n+n2(n206。N*)例2(2013廣東文19第(3)問)求證：11180。3+13180。5+15180。7+L+11(2n1)(2n+1)2：n12n+122+32+......+n2n(n206。N*)(n206。N*)：1+2+2+......+22(n206。N*)：：：：23n 1+111722+32+......+n24(n206。N*)1+12+115232+......+n24(n206。N*)+12+13+......+1n2n(n206。N*)+11132+52+......+(2n1)2321115：1+2+2+......+235(2n1)4常見的放縮技巧總結(jié)：第五篇：放縮法(不等式、數(shù)列綜合應(yīng)用)“放縮法”證明不等式的基本策略近年來在高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，而不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，它可以考察學(xué)生邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。特別值得一提的是，高考中可以用“放縮法”證明不等式的頻率很高，它是思考不等關(guān)系的樸素思想和基本出發(fā)點(diǎn), 有極大的遷移性, 對(duì)它的運(yùn)用往往能體現(xiàn)出創(chuàng)造性。“放縮法”它可以和很多知識(shí)內(nèi)容結(jié)合，對(duì)應(yīng)變能力有較高的要求。因?yàn)榉趴s必須有目標(biāo)，而且要恰到好處，目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考察，放縮時(shí)要注意適度，否則就不能同向傳遞。下面結(jié)合一些高考試題，例談“放縮”的基本策略。添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例已知an=2n1(n206。N*).求證：an1a1a2++...+n(n206。N*).23a2a3an+1ak2k11111111證明： Q=k+1==179。.,k=1,2,...,n, ak+12122(2k+11)+2k2232k\aa1a2n1111n11n1++...+n179。(+2+...+n)=(1n), a2a3an+12322223223an1aan\1+2+...+n(n206。N*).23a2a3an+12若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，、先放縮再求和（或先求和再放縮）例函數(shù)f（x）=4x1+4xk，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）n+12n+11(n206。N*).2證明：由f(n)= 4n1+4n=1111 1+4n22n2211得f（1）+f（2）+…+f（n）1+11222+L+1122n 11111=n(1+++L+n1)=n+n+1(n206。N*).424222此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，, 分母如果同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）k例已知an=n，求證：∑＜3．k=1akn證明：∑k=1nn2ak∑k=1n＜1＋∑k=2n(k－1)k(k＋1)=1+k=2n＜１＋∑k=2(k－1)(k＋1)（k＋1 ＋k－1)=1＋ ∑（k=2n－)(k－1)(k＋1)=1＋1＋＜2＋＜3．(n＋1)22本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，、放大或縮小“因式”；n1例已知數(shù)列{an}滿足an+1=a,0a1163。,求證：229。(akak+1)ak+2.232k=1n證明 Q0a1163。n11112,an+1=an,\a2=a12163。,a3163。L.\當(dāng)k179。1時(shí),0ak+2163。a3163。, 241616\229。(akak+1)ak+2k=11n11163。229。(akak+1)=(a1an+1).16k=11632本題通過對(duì)因式ak+2放大，而得到一個(gè)容易求和的式子逐項(xiàng)放大或縮小229。(ak=1nkak+1)，(n+1)(n+1)2an例設(shè)an=180。2+2180。3+3180。4+L+n(n+1)求證： 22122n+12證明：∵ n(n+1)n=nn(n+1)(n+)=2n+1∴ nn(n+1)1+3+L+(2n+1)n(n+1)(n+1)2an∴ 1+2+3+L+nan，∴2222n+1本題利用n，對(duì)an中每項(xiàng)都進(jìn)行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)；例求證：11117+++L+ 122232n24證明：Q1=n2n(n1)n1n\1111111115117+++L+1++(+L+)=+().122232n22223n1n42n4此題采用了從第三項(xiàng)開始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。利用基本不等式放縮例已知an=5n41對(duì)任何正整數(shù)m，n都成立.1，只要證5amn1+aman+.因?yàn)?amn=5mn4，aman=(5m4)(5n4)=25mn20(m+n)+16，故只要證5(5mn4)1+25mn20(m+n)+16+ 即只要證20m+20n37因?yàn)閍m+an=5m+5n85m+5n8+(15m+15n29)=20m+20n37，再利用基本不等式由am+、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮 例.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：nAim＜mAin；(2)證明：(1+m)＞(1+n)iinm證明：(1)對(duì)于1＜i≤m，且Aim =m…(m－i+1)，Aimmm1Aimnn1mi+1ni+1=L,同理=L，mmmnnnmini由于m＜n，對(duì)于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有nkmk，nmAinAim所以ii,即miAinniAimnm(2)由二項(xiàng)式定理有：22nn(1+m)n=1+C1nm+Cnm+…+Cnm，22mm(1+n)m=1+C1mn+Cmn+…+Cmn，由(1)知mAini＞nAimi(1＜i≤m＜n)，而CimAimiAin,Cn== i!i!∴miCin＞niCim(1＜m＜n)00222211∴m0C0n=nCn=1，mCn=nCm=mn，mCn＞nCm，…，mmm+1m+1mmCmCn＞0，…，mnCnn＞nCm，mn＞0，2222nn1mm∴1+C1nm+Cnm+…+Cnm＞1+Cmn+Cmn+…+Cmn，即(1+m)n＞(1+n)“放縮法”證明不等式的幾種常用策略，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，有時(shí)還需要幾種方法融為一體。在證明過程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果。但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮后得不出結(jié)論或得到相反的現(xiàn)象。因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要。要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)。掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問題和解決問題的能力。希望大家能夠進(jìn)一步的了解放縮法的作用，掌握基本的放縮方法和放縮調(diào)整手段.