數(shù)列型不等式的放縮技巧九法-wenkub
2023-07-10 02:18:20 本頁(yè)面
【正文】 ）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。以代入（）式得此式對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)有。 利用上述部分放縮的結(jié)論來(lái)放縮通項(xiàng)，可得 注：上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。注：①本題有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開(kāi)平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有著高等數(shù)學(xué)背景—數(shù)列單調(diào)遞減有下界因而有極限： ②是遞推數(shù)列的母函數(shù)，研究其單調(diào)性對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。七 轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例10第問(wèn)所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過(guò)從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了（略）。n！（06年江西卷理科第22題）解析：（1）將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n179。a2n！，只要證n206。1－（）……3176。故2176。（Ⅰ）略，只證（Ⅱ）：法1 由為下凸函數(shù)得 又，所以考慮試題的編擬初衷，是為了考查數(shù)學(xué)歸納法，于是借鑒詹森（jensen）不等式（若為上的下凸函數(shù)，則對(duì)任意，有 特別地，若則有 若為上凸函數(shù)則改“”為“”）的證明思路與方法有：法2 （用數(shù)學(xué)歸納法證明）（i）當(dāng)n=1時(shí)，由（Ⅰ）知命題成立.（ii）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即若正數(shù)，則當(dāng)時(shí)，若正數(shù)（*）為利用歸納假設(shè)，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數(shù)，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當(dāng)時(shí)命題也成立. 根據(jù)（i）、（ii）可知對(duì)一切正整數(shù)n命題成立.法3 構(gòu)造函數(shù)利用（Ⅰ）知，當(dāng)對(duì)任意. ② （②式是比①式
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