【正文】 ap+1(bc+a2abca)+bp+1(ca+b2bcab)+cp+1(ab+c2cabc)=ap+1(ab)[(ab)+(bc)]bp+1(ab)(bc)+cp+1[(ab)+(bc)](bc)=ap+1(ab)2+(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1(bc)2≥(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1)如果p+1≥0，那么ap+1bp+1≥0；如果p+1＜0，那么cp+1bp+1≥0，故有(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1)≥0，：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：abc+++(1a)(1b)(1c)≤1b+c+1c+a+1a+b+1abca+b+c≤，再證明以 ++b+c+1c+a+1a+b+1a+b+1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡單不等式a+b+ca+b+1c1+(1a)(1b)(1c)≤1，因?yàn)樽筮?++(1a)(1b)(1c)a+b+1a+b+1a+b+1=11c[1(1+a+b)(1a)(1b)]，再注意(1+a+b)(1a)(1b)≤(1+a+b+ab)a+b+1(1a)(1b)=(1+a)(1+b)(1a)(1b)=(1a2)(1b2)≤≤B，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時(shí)成立，那么A≤B顯然正確。33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。R+.由題意得：xyz=1。例2：設(shè)a、b、c是三角形的邊長，求證abc(bc)2+(ca)2+(ab)2≥ b+cc+aa+b1 [(ab)2+(bc)2+(ca)2]3證明：由不等式的對稱性，不防設(shè)a≥b≥c，則3abc0,3bca≥b+c+cca=b+ca0左式－右式=3abc3bca3cab(bc)2+(ca)2+(ab)2 b+ca+ca+b3bca3cab(ca)2+(ab)2 a+ba+b2(b+ca)3bca3cab(ab)2+(ab)2=(ab)2≥0 a+ba+ba+b ≥ ≥[評析]：本題中放縮法的第一步“縮”了兩個(gè)式了，有了一定的難度。第二篇：放縮法證明不等式放縮法證明不等式在學(xué)習(xí)不等式時(shí)，放縮法是證明不等式的重要方法之一，在證明的過程如何合理放縮，是證明的關(guān)鍵所在。（5）根據(jù)題目條件進(jìn)行放縮。232。a+247。（2）舍掉（或加進(jìn)）一些項(xiàng)。1246。R，S=求證：1已知a，b，c206。N* bn+32\Tn163。N 211111+++...+，求證：Tn 3+b13+b23+b33+bn2迭乘得：bn+3179。1,bn+1=bn(n2)bn+3（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：bn179。3+180。N*.111++...+2，n206。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強(qiáng)，稍有不慎，則會(huì)出現(xiàn)放縮失當(dāng)?shù)默F(xiàn)象。第一篇：不等式證明 之 放縮法不等式證明 之 放縮法放縮法的定義所謂放縮法，即要證明不等式A（1）放縮的方向要一致。典例分析：例設(shè)xyz，n206。N*.22223n1117++...+，n206。4+...+n180。n（2）Tn=解：(1)略(2)Qbn+1+3=bn(bnn)+2(bn+3)又Qbn179。2\n1(b1+3)179。1111111 +++...+=234n+1n+122222222點(diǎn)評：把握“bn+3”這一特征對“bn+1=bn(n2)bn+3”進(jìn)行變形，然后去掉一個(gè)正項(xiàng)，這是不等式證明放縮的常用手法。R且a+b=c，求證：a+bc(n179。3230。如231。2248。22（3）在分式中放大或縮小分子或分母。（6）構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行放縮?，F(xiàn)例析如下，供大家討論。由例例2也可知運(yùn)用放縮法前先要觀察目標(biāo)式子的符號?！?+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對稱性可得[評析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對稱性。2223833∴左邊=(a+b+c)22(ab+bc+ca)+abc23434 =92a(b+c)+bc(a)≥92a(3a)+(3a)2(a)2383341633=9+(3a)[(3a)(a)a]=9(3a)[a2=a+4]=9(a3+2a2a+12)83388=99393+a(a22a+1)=+a(a1)2≥2282893 ∴a2+b2+c2+abc≥22[評析]：本題運(yùn)用對稱性確定符號，在使用基本不等式可以避開討論。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。一、不等式的初等證明方法：由因?qū)Ч?。：正難則反。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。沒有自信就會(huì)畏難，就會(huì)放棄?！局攸c(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：放縮法證明不等式。如t2+2t2,t22t2等。【合作探究】證明下列不等式(1)(2)，已知a0，用放縮法證明不等式:loga(a1)1111++...+2(n206。錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式；第二個(gè)方法就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式再進(jìn)行嘗試。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號的方向是否符合條件即可。即通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。（錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。和錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。.現(xiàn)設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。）；（3）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。還可放縮為：錯(cuò)誤！未找到引用源?？赏茝V為：錯(cuò)誤！未找到引用源。記數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。的取值范圍；⑶ 設(shè)數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。其中，錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和錯(cuò)誤！未找到引用源。且滿足錯(cuò)誤！未找到引用源。？若存在，寫出一個(gè)滿足要求的數(shù)列；若不存在，說明理由．（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。并說明理由；（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意錯(cuò)誤！未找到引用源。為整數(shù)的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。對任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。（3）放縮構(gòu)造裂項(xiàng)相消數(shù)列與等比數(shù)列的技巧：① 裂項(xiàng)相消：在放縮時(shí)，所構(gòu)造的通項(xiàng)公式要具備“依項(xiàng)同構(gòu)”的特點(diǎn)，即作差的兩項(xiàng)可視為同一數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)（或等距離間隔項(xiàng)）② 等比數(shù)列：所面對的問題通常為“錯(cuò)誤