有關(guān)用導(dǎo)數(shù)處理的數(shù)列型不等式集錦-wenkub
2023-07-10 03:10:59 本頁面
【正文】 . 已知證明. 解析: ,然后兩邊取自然對(duì)數(shù),可以得到然后運(yùn)用和裂項(xiàng)可以得到答案)放縮思路：。當(dāng)時(shí), ,對(duì)一切,有.②由①及已知得,所以 .所以,又由(1)得,所以,…….相加,得,故不等式成立.點(diǎn)評(píng):本題是一道改編題,是歷年高考命題的常見策略.；對(duì)對(duì)都成立，證明（無理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。 ① 證明：（II）由①得，所以有，為證，只需證。由、可知對(duì)一切，③ 式都成立。 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,=k+1時(shí), 因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù). 又f(x)在上連續(xù),所以f(0)f()f(1),即0. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.————4分 又由, 得,從而. 綜上可知————6分 (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)= , 0x1, 由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù). 又g(x)在上連續(xù),所以g(x)g(0)=0. 因?yàn)?所以,即0,從而————10分 (Ⅲ) 因?yàn)?,所以, , 所以 ————① , ————12分 由(Ⅱ)知:, 所以= , 因?yàn)? n≥2, 所以 =————② . ————14分 由①② 兩式可知: .————16分19．已知等比數(shù)列中，. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明；(3)設(shè)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，均有.【解析】(1)∵.∴是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列. ∴，所以. （2）設(shè)，則. 故，所以. 所以，所以. 所以，∴. （3）因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，并且，所以. 所以對(duì)任意的正整數(shù)，均有的最大值為，所以對(duì)任意的正整數(shù)，均有.，若存在，使成立，、且.（Ⅰ）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）已知各項(xiàng)不為1的數(shù)列滿足，求證：；（Ⅲ）在（2）中，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.解：（1）設(shè) ∴ ………………………1分∴ 由 又∵ ∴
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