構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明不等式-wenkub
2024-10-28 05 本頁面
【正文】 第二篇：構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式湖北省天門中學(xué)薛德斌2010年10月例設(shè)當(dāng)x206。N，且mn，求證：(1+m)(1+n)．+nm例（2010年遼寧卷文科）已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，其中a163。4|x1x2|.例（2010年全國Ⅱ卷理科）設(shè)函數(shù)f(x)=x+aIn(1+x)有兩個極值點xx2，且2x1x2，證明：f(x2)0，b0，例已知函數(shù)f(x)=xlnx，求證：f(a)+(a+b)ln2179。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0恒成立。234。236。0，即：0163。同理可求得a,c206。3,b,c,d206。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。0（當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0abc111149∴當(dāng)a=,b=,c=時，(++)min=36 632abc構(gòu)造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性+例巳知a、b、c∈R，且a b+mb[分析]本題可以用比較法、分析法等多種方法證明。[證明]令 f（x）=x，可證得f（x）在[0，∞)上是增函數(shù)（證略）1+x 而 0得 f（∣a+b∣）≤ f（∣a∣+∣b∣）即： a+b1+a+b≤a+b1+a+b[說明]要證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)，若用定義來證明，則證明過程是用比較法證明f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系；反過來，證明不等式又可以利用函數(shù)的單調(diào)性。另證：類比萬能公式中的正弦公式構(gòu)造三角函數(shù)更簡單。22證明：∵lgx+lgy 0(x1,y1)∴原不等式可變形為：Lga≥lgx+lgylgx+lgy222（lgx+lgy）2lgxlgy 令 f(x)= == 1+222222lgx+lgylgx+lgylgx+lgylgx+lgy 而 lgx0,lgy0, ∴l(xiāng)gx+lgy ≥ 2lgxlgy 0 ∴2lgxlgy≤1 22lgx+lgy ∴ 1從而要使原不等式對于大于1的任意x與y恒成立，只需Lga≥2即 a≥102即可。(x)0有f(x)在x2時嚴(yán)格遞增從而有f(n)=f(2)=ln(4/3)4/15=0即有l(wèi)n(4n4)/(6n+3)原不等式等證【解】：∏{n^2/(n^21)}e^((4n4)/(6n+3))∵n^2/(n^21)=n^2/(n+1)(n1)∴∏{n^2/(n^21)}=2n/(n+1)原式可化簡為：2n/(n+1)e^((4n4)/6n+3))構(gòu)建函數(shù)：F(n)=2n/(n+1)e^((4n4)/(6n+3))其一階導(dǎo)數(shù)F’(n)={24e^((4n4)/(6n+3))}/(n+1)^2∵e^((4n4)/(6n+3))∴F’(n)0而F=4/(2+1)e^((84)/(12+3))=4/3e^(4/15)0所以F(n)0即：2n/(n+1)e^((4n4)/6n+3))故得證。：a、b、c∈R，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)179。0恒成立。234。236。0，即：0163。同理可求得a,c206。3,b,c,d206。0.∴4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。0（當(dāng)且僅當(dāng)a=,b=,c=時取等號），632149得⊿≤0,即⊿＝1444（++）≤0 abc111149∴當(dāng)a=,b=,c=時，(++)min=36 632abc構(gòu)造函數(shù)證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性+例
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