專題09導(dǎo)數(shù)與不等式的解題技巧-wenkub
2023-04-08 05:51:47 本頁(yè)面
【正文】 為增函數(shù)，所以，∴成立.所以，.【點(diǎn)睛】本題屬于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，教案中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．練習(xí)．已知函數(shù) 的極小值為.（）求的值； （）任取兩個(gè)不等的正數(shù)，且，若存在正數(shù)，使得成立，求證：.【答案】（）； （）見(jiàn)解讀.【解讀】（）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論；（）求出后把用，表示，再把與作差后構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)后得到構(gòu)造的輔助函數(shù)的最小值大于，從而得到，運(yùn)用同樣的辦法得到，最后得到要證的結(jié)論.【詳解】（）顯然， ， 令，解得.當(dāng)時(shí)，若，為減函數(shù)；若，為增函數(shù),∴在處取得極小值， ∴ 解得 當(dāng)時(shí)與題意不符，綜上，.（）由（）知，∴,∴，即..設(shè)，則再設(shè)，則，在上是減函數(shù)∴，即，又∴ ，即，∴， ∴,同理可證得, ∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減；解題的關(guān)鍵亦為其難點(diǎn)即通過(guò)構(gòu)造函數(shù)和，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值證明不等式，是一道難度較大的綜合題型．練習(xí)．已知函數(shù)，.(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(Ⅱ)若，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】(Ⅰ) 最小值為，最大值為； (Ⅱ)證明見(jiàn)解讀。()]′＝；()′＝．．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)()對(duì)于兩個(gè)函數(shù)＝()和＝()，如果通過(guò)變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這兩個(gè)函數(shù)(函數(shù)＝()和＝())的復(fù)合函數(shù)為＝(())．()復(fù)合函數(shù)＝(())的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)＝()，＝()的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積．二．題型分析（一）函數(shù)單調(diào)性與不等式例．【一輪復(fù)習(xí)】已知函數(shù)()＝＋ ，∈(－，)，則滿足(－)＋(－)的的取值范圍是( )．(，) ．(，) ．(，) ．(，)【答案】【分析】在區(qū)間（﹣，）上，由（﹣）＝﹣（），且′（）＞可知函數(shù)（）是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，由此可求出的取值范圍．【點(diǎn)睛】本題考查了判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的問(wèn)題，綜合運(yùn)用了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．練習(xí)．對(duì)任意，不等式恒成立，則下列不等式錯(cuò)誤的是（ ?。? ．． ．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)后利用已知條件得到的單調(diào)性，將選項(xiàng)中的角代入函數(shù)中，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)，并判斷正誤，由此得出選項(xiàng).【解讀】構(gòu)造函數(shù)，則，∵，∴，即在上為增函數(shù)，則，即，即，即，又，即，即，故錯(cuò)誤的是．故選：．【點(diǎn)睛】本小題考查構(gòu)造函數(shù)法，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，也含有其導(dǎo)數(shù)的不等式，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)，可構(gòu)造，可得.（二）函數(shù)最值與不等式例．【福建省福州市學(xué)年高三第一學(xué)期質(zhì)量抽測(cè)】已知函數(shù)，對(duì)于任意，恒成立，則的取值范圍是（ ）． ． ． ．【答案】【分析】由題意知即等價(jià)轉(zhuǎn)化為，通過(guò)研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)從而得到最值，依次驗(yàn)證選項(xiàng)即可. （四）不等式中存在任意問(wèn)題例．【安徽省皖南八校屆高三第二次（月)聯(lián)考數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，對(duì)于，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是． ． ． ．【答案】【解讀】，使得
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