有關(guān)用導(dǎo)數(shù)處理的數(shù)列型不等式集錦-閱讀頁(yè)
2025-07-10 03:10本頁(yè)面
【正文】 ∴b＝2 ∴，由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an≠1．當(dāng)n≥2時(shí)，2 Sn 1＝an－1－an－12 ……②，①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝a1－a12 a1＝－1，若an＝－an－1，則a2＝1與an≠1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．………………4分∴要證待證不等式，只要證 ，即證 ，只要證 ，即證 ．考慮證不等式(x＞0) **．…………………………………………………6分令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．∴g 39。(x)＝，∵x＞0， ∴g 39。(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函數(shù)，∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時(shí)，．令則**式成立，∴＜＜，……………………………………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知bn＝，則Tn＝．在中，令n＝1，2，3，……，2008，并將各式相加，得，即T2009－1＜ln2009＜T2008．…………………………………………………………………12分.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求證：.解：（Ⅰ）定義域?yàn)椋?………2分 令，令 故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為 的極大值為 （Ⅱ）證：要證 即證， 即證 即證 令，由（Ⅰ）可知在上遞減，故 即，令，故 累加得， 故，得證23．已知的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行.（Ⅰ）求a，b滿足的關(guān)系式；（Ⅱ）若上恒成立，求a的取值范圍；（III）證明：22．解：（Ⅰ），根據(jù)題意，即 …3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令， 則，= ①當(dāng)時(shí)， ， 若，則，在減函數(shù)，所以，在上恒不成立． ②時(shí)，當(dāng)時(shí)，在增函數(shù)，又，所以．綜上所述，所求的取值范圍是 …………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立．取得令得，即所以上式中n=1，2，3，…，n，然后n個(gè)不等式相加得到………………………………14分
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