如何靈活利用放縮法等方法證明不等式-資料下載頁
2024-10-28 00:12本頁面
【正文】 求證111≤1 =+1+a+b1+b+c1+c+a證明：設(shè)a=x3,b=y3,c= x、y、z206。R+.由題意得：xyz=1?！?+a+b=xyz+x3+y3∴x3+y3(x2y+xy2)=x2(xy)+y2(yx)=(xy)2(x+y)≥0 ∴x3+y3≥x2y+xy2∴1+a+b=xyz+x3+y3≥xyz+xy(x+y)=xy(x+y+z)∴1z1=≤xy(x+y+z)x+y+z1+a+byx11≤，≤ ∴+y+zx+y+z1+b+c1+c+a同理：由對(duì)稱性可得[評(píng)析]：本題運(yùn)用了排序不等式進(jìn)行放縮，后用對(duì)稱性。39例4：設(shè)a、b、c≥0，且a+b+c=3，求證a2+b2+c2+abc≥22證明：不妨設(shè)a≤b≤c，則a≤1又∵(44?！郺0。33a+b23a23434)≥bc，即()≥bc，也即bc(a)≥(3a)2(a)。2223833∴左邊=(a+b+c)22(ab+bc+ca)+abc23434 =92a(b+c)+bc(a)≥92a(3a)+(3a)2(a)2383341633=9+(3a)[(3a)(a)a]=9(3a)[a2=a+4]=9(a3+2a2a+12)83388=99393+a(a22a+1)=+a(a1)2≥2282893 ∴a2+b2+c2+abc≥22[評(píng)析]：本題運(yùn)用對(duì)稱性確定符號(hào)，在使用基本不等式可以避開討論。例5：設(shè)a、b、c206。R+，p206。R，求證：abc(ap+bp+cp)≥ap+2(a+b+c)+bp+2(ab+c)+cp+2(a+bc)證明：不妨設(shè)a≥b≥c＞0，于是左邊－右邊=ap+1(bc+a2abca)+bp+1(ca+b2bcab)+cp+1(ab+c2cabc)=ap+1(ab)[(ab)+(bc)]bp+1(ab)(bc)+cp+1[(ab)+(bc)](bc)=ap+1(ab)2+(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1(bc)2≥(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1)如果p+1≥0，那么ap+1bp+1≥0；如果p+1＜0，那么cp+1bp+1≥0，故有(ab)(bc)(ap+1bp+1+cp+1)≥0，：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，求證：abc+++(1a)(1b)(1c)≤1b+c+1c+a+1a+b+1abca+b+c≤，再證明以 ++b+c+1c+a+1a+b+1a+b+1證明：設(shè)0≤a≤b≤c≤1，于是有下簡(jiǎn)單不等式a+b+ca+b+1c1+(1a)(1b)(1c)≤1，因?yàn)樽筮?++(1a)(1b)(1c)a+b+1a+b+1a+b+1=11c[1(1+a+b)(1a)(1b)]，再注意(1+a+b)(1a)(1b)≤(1+a+b+ab)a+b+1(1a)(1b)=(1+a)(1+b)(1a)(1b)=(1a2)(1b2)≤≤B，我們找一個(gè)(或多個(gè))中間量C作比較，即若能斷定A ≤C與C≤B同時(shí)成立，那么A≤B顯然正確。所謂的“放”即把A放大到C，再把C放大到B，反之，所謂的“縮”即由B縮到C，再把C縮到A。同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及。
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